求两个给定向量的中位数

在数据处理的过程中，经常需要求取一个向量的中位数，尤其是在数据分析和统计学领域。本文将介绍如何编写代码来求取两个给定向量的中位数。

方法一：暴力破解法

我们可以将两个向量合并为一个，然后排序，最后求出中位数。这是一种容易实现的方法，但时间复杂度较高，不太适合大数据量的处理。

代码片段：

def median_of_two_vectors(nums1, nums2):
    nums = nums1 + nums2
    nums.sort()
    n = len(nums)
    if n % 2 == 0:
        return (nums[n//2-1] + nums[n//2]) / 2
    else:
        return nums[n//2]

该函数接受两个向量 nums1 和 nums2，将它们合并为一个向量 nums，然后对 nums 进行排序，最后根据向量长度的奇偶性求出中位数。

方法二：二分查找法

我们也可以使用二分查找的方法来求取两个向量的中位数。

首先，我们需要确保第一个向量的长度小于或等于第二个向量的长度，如果不满足则反转两个向量的顺序。

然后，我们通过二分查找来找到一个位置，使得第一个向量中在该位置左侧的所有元素的数量，加上第二个向量中在该位置左侧的所有元素的数量恰好等于总长度的一半（向下取整）。

如果两个向量的总长度为奇数，则中位数就是该位置对应的元素；如果总长度为偶数，则中位数就是该位置对应的元素和它左侧的元素的平均数。

代码片段：

def median_of_two_vectors(nums1, nums2):
    if len(nums1) > len(nums2):
        nums1, nums2 = nums2, nums1

    m, n = len(nums1), len(nums2)
    left, right, half_len = 0, m, (m + n + 1) // 2
    while left <= right:
        i = (left + right) // 2
        j = half_len - i
        if i < m and nums2[j-1] > nums1[i]:
            left = i + 1
        elif i > 0 and nums1[i-1] > nums2[j]:
            right = i - 1
        else:
            if i == 0:
                max_of_left = nums2[j-1]
            elif j == 0:
                max_of_left = nums1[i-1]
            else:
                max_of_left = max(nums1[i-1], nums2[j-1])
                
            if (m + n) % 2 == 1:
                return max_of_left
            
            if i == m:
                min_of_right = nums2[j]
            elif j == n:
                min_of_right = nums1[i]
            else:
                min_of_right = min(nums1[i], nums2[j])
                
            return (max_of_left + min_of_right) / 2

该函数接受两个向量 nums1 和 nums2，使用二分查找法来寻找它们的中位数。

首先，我们确保第一个向量的长度小于或等于第二个向量的长度。然后，我们使用二分查找来找到一个位置，使得第一个向量中在该位置左侧的所有元素的数量，加上第二个向量中在该位置左侧的所有元素的数量恰好等于总长度的一半（向下取整）。

如果我们找到了这样的位置，则中位数就是该位置对应的元素，如果两个向量的总长度为偶数，还需要求该位置对应的元素和它左侧的元素的平均数。

在上述代码中，我们将每个向量的左侧部分看作一个整体，在中位数的位置进行二分查找。通过比较每个向量的中位数，将问题空间缩小到可能包含中位数的那一半，然后继续执行二分查找，直到找到中位数位置或者判断无解为止。 这种方法的时间复杂度为$O(log(min(m, n)))$，空间复杂度为O(1)。

总结

两个方法分别使用排序和二分查找的方式来求取两个向量的中位数。其中，暴力破解法容易实现但时间复杂度较高；二分查找法时间复杂度低，但需要一些数学技巧来理解和实现。在实际使用过程中，根据数据规模和需求来选择使用哪种方法。