求与 X 的加权和 XOR 最大的子树的根

这是一个关于二叉树问题的算法题，要求在给定二叉树中找到与特定数字 X 的加权和 XOR 最大的子树的根。

问题描述

给定一个二叉树和一个数字 X，每个节点有一个权重值，定义一个节点的加权和为从它到根节点路径上所有节点的权重值之和，定义两个节点的加权和的 XOR 为这两个节点的加权和的按位异或。

我们的目标是找到这个二叉树中与 X 的加权和 XOR 最大的子树的根节点。

解法

解决这个问题可以采用 DFS 深度优先搜索的思路。

我们首先可以构造一个函数 $dfs(node, x)$，表示从二叉树的根节点开始，从深度优先搜索到节点 $node$ 时，与数字 $X$ 的加权和 XOR 的最大值，其中 $x$ 表示目标数字 $X$。

然后，我们可以使用递归的方式来进行搜索。具体来说：

1. 如果当前节点 $node$ 为 $null$，返回一个长度为 2 的数组，其中第一个值表示 XOR 的最大值，第二个值表示对应的最小加权和。

2. 如果当前节点 $node$ 非空，则对它的左右子树调用 $dfs$ 函数，得到它们的最大 XOR 值和最小加权和。

3. 针对当前节点，我们可以计算当前节点与 $X$ 的加权和，并将其与左右子树的最小加权和相加，得到一个新的加权和。然后再将该加权和和左右子树的最大 XOR 值分别进行 XOR 运算，得到左右子树的贡献值。

4. 我们需要找到左右子树的贡献值中最大的那一个，然后再将它与当前节点与 $X$ 的加权和进行 XOR 运算，得到当前节点的贡献值。同时，我们需要记录当前节点的加权和，以便在递归过程中传递给父节点。

这个递归过程可以用如下的代码实现：

def dfs(node, x):
    if not node:
        return [0, 0]
    left_sum, left_min_sum = dfs(node.left, x)
    right_sum, right_min_sum = dfs(node.right, x)
    cur_sum = node.val + left_min_sum + right_min_sum
    left_cont = left_sum ^ cur_sum ^ x
    right_cont = right_sum ^ cur_sum ^ x
    max_cont = max(left_cont, right_cont, 0)
    cur_cont = node.val ^ cur_sum ^ x
    return [max(left_sum, right_sum, cur_cont, max_cont), cur_sum]

其中，node.val 表示当前节点的权重值。这个函数返回一个长度为 2 的数组，其中第一个值表示二叉树的最大 XOR 值，第二个值表示当前节点的加权和。

最后我们可以在二叉树的根节点上调用 $dfs$ 函数，并返回它的第一个值，就是我们要求的与 $X$ 的加权和 XOR 最大的子树的根节点了。

总结

这是一个利用深度优先搜索来解决问题的常见算法。它的思路是寻找一种特定的贡献值表示方式，并在递归过程中进行更新，直到求出目标结果。虽然这个问题看起来比较复杂，但是我们可以通过把它拆分成一些小的步骤和子问题来解决。这种思路同样适用于其他二叉树相关的问题，例如求二叉树的最大路径和等等。