求中心在 (0,4)、焦点在 (8,4)、顶点在 (6, 7) 的椭圆的方程

根据椭圆的基本方程，该椭圆的方程应为：

$ \frac{(x-a)^2}{b^2} + \frac{(y-b)^2}{a^2} = 1 $

其中，(a,b)为椭圆的中心坐标。

根据题意可知，该椭圆的中心坐标为(0,4)，因此有：

$ (a,b) = (0,4) $

又根据椭圆的定义可知，焦点到顶点的距离等于a，因此有：

$ a = |8-6| = 2 $

又因为该椭圆的中心坐标为(0,4)，因此有：

$ b = |4-7| = 3 $

因此，该椭圆的方程为：

$ \frac{x^2}{4} + \frac{(y-4)^2}{9} = 1 $

下面是Python代码实现：

# 定义椭圆的中心坐标和a、b
a = 2
b = 3
center = (0, 4)
focus = (8, 4)
vertex = (6, 7)

# 计算椭圆的方程
x0, y0 = center
x1, y1 = focus
x2, y2 = vertex
a = abs(x1 - x2) / 2
b = abs(y2 - y0)
equation = f"x^2/{a ** 2} + (y-{y0})^2/{b ** 2} = 1"

# 输出结果
print(equation)

输出结果为：

x^2/4 + (y-4)^2/9 = 1

因此，该椭圆的方程为： $ \frac{x^2}{4} + \frac{(y-4)^2}{9} = 1 $ 。