可被给定数 K 整除的数组中所有元素的乘积

这是一个热门问题，解决方案通常涉及使用数学、动态规划、递归等技术手段。首先，我们需要明确一点，即可被给定数 K 整除的数组中所有元素的乘积等价于可被 K 整除的所有因子的乘积。

以下是实现此问题的几种方法：

方法一：遍历数组

最简单直接的解决方法是遍历整个数组，然后将可被 K 整除的所有因子相乘，得到答案：

def divisible_product(nums, k):
    result = 1
    for num in nums:
        if num % k == 0:
            result *= num
    return result

此方法的时间复杂度为 O(n)，其中 n 为数组的长度。

方法二：动态规划

对于一个长度为 n 的数组，我们可以使用动态规划的思想将其分为两部分：前 n-1 个元素和第 n 个元素。我们可以先计算前 n-1 个元素的可被 K 整除的因子乘积，然后将其与第 n 个元素的可被 K 整除的因子乘积相乘，即可得到整个数组的可被 K 整除的因子乘积。

def divisible_product(nums, k):
    product = 1
    dp = [1] * (k + 1)
    for num in nums:
        for i in range(1, k + 1):
            if num % i == 0:
                dp[i] = dp[i] * num % 1000000007
        product = product * dp[k] % 1000000007
    return product

此方法的时间复杂度为 O(n*k)，其中 k 即为可被整除的数。

方法三：递归

递归是另一个可以解决此问题的方法。我们可以将数组分为两半，然后递归地计算每一半的可被 K 整除的因子乘积，并将两半的结果相乘。

def divisible_product(nums, k):
    n = len(nums)
    if n == 0:
        return 1
    left = divisible_product(nums[:n//2], k)
    right = divisible_product(nums[n//2:], k)
    return left * right % 1000000007

此方法的时间复杂度为 O(nlogn)，其中 n 为数组的长度。

综上所述，以上三种方法均可以解决可被给定数 K 整除的数组中所有元素的乘积的问题。具体选择哪个方法，取决于数据规模和对算法性能的要求。