通过连接从 N 到 M 的除数来创建图并找到最短路径

简介

该算法基于图论思想，通过连接从 N 到 M 的除数来创建图，并使用广度优先搜索算法（BFS）找到最短路径。本算法可以用于解决类似以下问题：

给定两个整数 N 和 M，每次可以将 N 变为 N 的某个因数，问最少需要几次这样的操作才能将 N 变为 M？

实现思路

1. 构建图

• 以 N 和 M 为节点，构建一个有向无环图。从 N 到 M 构建出所有可能的子节点。

• 对于节点 x，连接它的所有除数 y。例如，对于节点 30，连接它的除数 1、2、3、5、6、10、15。

• 每个节点应该记录它的父节点，以便找到最短路径。

• 在这个图中，每条边的长度均为 1。

2. 搜索最短路径

• 使用 BFS 算法从起点 N 开始搜索。

• 将起点加入到队列中，然后访问它的子节点。

• 对于每个子节点，记录它的父节点，并将其加入到队列中。

• 如果子节点是目标节点 M，则结束搜索并回溯找到最短路径。

代码实现

from collections import deque


def construct_graph(n, m):
    """
    构建有向无环图
    :param n: 起点
    :param m: 终点
    :return: 图的邻接表表示
    """
    graph = {n: []}
    q = deque([n])
    while q:
        node = q.popleft()
        if node == m:
            break
        for i in range(1, int(node ** 0.5) + 1):
            if node % i == 0:
                factor = node // i
                if i != 1:
                    graph.setdefault(factor, []).append(node)
                if factor != 1:
                    graph.setdefault(i, []).append(node)
                if factor != node and i != node:
                    q.append(factor)
                    q.append(i)
    return graph


def bfs_search(graph, n, m):
    """
    广度优先搜索
    :param graph: 图的邻接表表示
    :param n: 起点
    :param m: 终点
    :return: 最短路径长度和路径
    """
    queue = deque([n])
    parent = {n: None}
    while queue:
        node = queue.popleft()
        if node == m:
            path = []
            while node is not None:
                path.append(node)
                node = parent[node]
            return len(path) - 1, path[::-1]
        for neighbor in graph.get(node, []):
            if neighbor not in parent:
                parent[neighbor] = node
                queue.append(neighbor)
    return -1, []  # 无解的情况


# 测试
n, m = 30, 48
graph = construct_graph(n, m)
distance, path = bfs_search(graph, n, m)
print("最短路径长度:", distance)
print("最短路径:", path)

总结

通过连接从 N 到 M 的除数来创建图并找到最短路径，是一种使用图论思想解决问题的方法。对于类似的问题，我们可以通过构建有向无环图，并使用广度优先搜索算法来求解最短路径。