偏导数的应用——两个变量最大值和最小值

偏导数可用于求二元函数的最大值和最小值（如果存在）。我们尝试定位一个斜率为零的固定点，然后在其附近追踪最大值和最小值。最大值/最小值的实际应用是最大化给定曲线的利润或最小化损失。

令 f(x,y) 为实值函数，令 (pt,pt') 为 f(x,y) 域中的内点，则

• 如果存在一个 h > 0 使得 f(pt,pt') ≥f(x,y)，则 pt, pt' 称为局部最大值点，对于 (pt – h, pt' + h) 中的所有 x， x≠a 值 f(pt,pt') 称为 f(x,y) 的局部最大值。
• pt, pt' 称为局部最小值点，如果存在 h < 0 使得 f(pt,pt') ≥f(x,y)，对于 (pt – h, pt' + h) 中的所有 x， x≠a 值 f(pt,pt') 称为 f(x,y) 的局部最小值。

求二元函数的最大值和最小值的算法：

1. 使用f _xx =0和f _yy =0求 x 和 y 的值 [注意：f _xx和 f _yy分别是函数关于 x 和 y 的偏二阶导数。]
2. 获得的结果将被视为曲线的静止点/转折点。
3. 创建 3 个新变量 r、t 和 s。
4. 使用r=f _xx, t=f _yy , s=f _xy求 r,t 和 s 的值
5. 如果( rt-s ² )| _{（固定点）} >0 （最大值/最小值）存在
6. 如果 (rt-s ² )| _{（固定点）} <0（无最大值/最小值）/（鞍点）
7. 如果r=f _xx >0（最小值）
8. 如果r=f _xx <0（最大值）

示例 1：

函数f(x,y)=x ² y−3xy+2y+x 有

• (a) 没有局部极值
• (b) 一个局部最小值但没有局部最大值
• (c) 一个局部最大值但没有局部最小值
• (d) 一个局部最小值和一个局部最大值

解释 ：

答案：A

r=∂2f/∂x2=2y
s=∂2f/∂x∂y=2x−3
t=∂2f/∂y2=0

因为， rt-s ² ≤0，（如果 rt-s ² < 0 那么我们没有最大值或最小值，如果 = 0 那么我们什么也不能说）。

当 rt-s ² >0 且 r<0 时，Maxima 将存在。

当 rt-s ² >0 且 r>0 时，将存在最小值。

由于 rt-s ²永远不会大于 0，所以我们没有局部极值。

示例 2：

求函数f(x , y) = 2x ² + 2xy + 2y ² – 6x 的局部最小值

fx(x,y) = 4x + 2y - 6=0    (1)
fy(x,y) = 2x + 4y=0        (2)

在解决 (1) 和 (2) 时，我们得到，

x=2,y=-1
r=∂2f/∂x2=4
s=∂2f/∂x∂y=2
t=∂2f/∂y2=4
rt−s2=12

如 rt-s ² >0 和 r>0。因此，(2,-1) 是局部最小值点。

示例 3：

求 f(x , y) = x ² +y ² + 6x +12 的最大值/最小值

fx(x,y) = 2x+6=0     (1)
fy(x,y) = 2y=0       (2)

在解决 (1) 和 (2) 时，我们得到，

x=-3,y=0
r=∂2f/∂x2=2
s=∂2f/∂x∂y=0
t=∂2f/∂y2=2

如 rt-s ² >0 和 r>0。因此，(-3,0) 是局部最小值点。