近似值相似但不完全相同。当确切的数字未知或难以获得时，就会发生近似。在数学中，我们使用微分来找到某些数量的近似值。
设f为给定函数，设y = f(x)。令Δx表示x的一个小增量。
现在y的增量就像x的增量一样，表示为
∆y由∆y = f(x + ∆x)– f(x)给出
我们定义以下内容：
(i) dx (the differential of x) is defined by dx = ∆x.
(ii) dy (the differential of y) is defined by dy = f’(x) dx or dy = (dy/dx) * ∆x
If dx = ∆x is relatively small when compared to with x dy ≈ ∆y.
示例：找到√26的近似值。
解决方案：
如果给定的数字是完美的平方，在这里很容易找到root的值，但是对于这种类型的数字，我们必须使用导数来找到函数的近似值。
令f(x)=√x且其导数为f’(x)= 1 / 2x ^ 1/2
现在我们知道了近似公式
Δy≈Δx=(dy / dx)。 Δxf(x +Δx)-f(x)= f’(x)。 Δxf(x +Δx)= f(x)+ f’(x)。 Δx
在这里，我们假设x接近25，这是一个完美的正方形。
因此，我们假设x = 25 x2 – x1 = 26 – 25 = 1
这里告诉我们x的变化。令x = 25，现在我们将值放在公式中
f(x + ∆x)= f(x)+ f’(x)。 Δxf(25 +1)
= f(25)+ f’(25)f(26)=√25+(1 / 2.25 ^ 1/2).1
= 5 + 1/10√26
= 5 + 0.1
= 5.1
近似和误差
如果我们使用f(x)的导数，则可以在无限小的间隔dx上给我们f(x)的精确变化。众所周知，瞬时变化率是使用极限作为x变化的离散值来定义的，从而使Δx变为零。
示例1 ：查找(8.01)4/3 +(8.01)2(8.01)4/3 +(8.01)2的值
解决方案：
Let y = f(x) = x4/3 + x2y = f(x) = x4/3 + x2
Let x0 = 8 so that y0 = 16 + 64 = 80
Δx = 0.01 ⇒ Δy = f′(x) × Δx = (43 x 1/3 + 2x) × Δx = (83+16) × 0.01
=0.563=0.1867
⇒y0=y0+Δy
=80.1867
示例2：找到f(3.02)的近似值，其中f(x)= 3x 2 + 5x + 3。
解决方案：
Let x = 3 and Δx = 0.02. Then,
since, f(3.02) = f(x + Δx) = 3(x + Δx)2 + 5(x + Δx) + 3
Note that Δy = f(x+Δx) – f(x).
Therefore,
f(x + Δx) = f(x) + Δy
≈ f(x) + f'(x)Δx (as ds = Δx)
f(3.02) ≈ (3x2 + 5x + 3) + (6x + 5)Δx
= (27 + 15 + 3) + (18 + 5)(0.02)
= 45 + 0.46 = 45.46
Hence, the approximate value of f(3.02) is 45.46
极大值和极小值
令f为在区间I上定义的函数。
(a)如果对所有x∈I，如果i在某种程度上存在c使得f(c)> f(x)，则f声称在I中具有最大值。
数字f(c)被称为I中f的最大值，因此点c被命名为I中f最大值的某种程度。
(b)如果在所有x∈I上存在一定程度的c(例如f(c) 在这种情况下，数字f(c)被称为I中f的最小值，因此，在这种情况下，点c在I中被称为f最小值的某种程度。 (c)如果在i中存在某种程度的c，则f声称在i中具有极值，因此f(c)是i中f的最大值或最小值。 在这种情况下，数字f(c)在I中被称为f的极值，因此点c被称为极值。 令f是在无界区间I上定义的函数，并且f在I的交点c处是连续的。 (i)如果f’(x)随着x通过c的增加而将符号从正变负，即，如果f’(x)> 0恰好位于c的边缘和左边，则f’(x x)<0足够在c的附近且在c的适当范围内的每个点，则c可能是局部最大值的一个点。 (ii)如果f’(x)随着x通过c的增加而将符号从负变为正，即，如果f’(x)<0恰好位于c的左侧和边缘的每个点，并且f’( x)> 0在每个点上都恰好位于c的边缘且在c的适当范围内，则c可能是局部最小值的点。 (iii)如果f’(x)不会随着x通过c的增加而改变符号，则c既不是局部最大值的某种程度，也不是局部最小值的某种程度。这样的点称为拐点 示例1：找到函数f(x)= 2×3–6×2 + 6x +5的局部最大值和局部最小值的所有点。 解决方案： We have f(x) = 2×3 – 6×2 + 6x + 5 or f ′(x) = 6×2 – 12x + 6 = 6 (x – 1)2 or we can say, f ′(x) = 0 at x = 1 Thus, the only critical point of f is x = 1 示例2：对于该函数，找到局部最大值和局部最小值的点(如果有)： f(x)= -x 3 + 3x 2 – 3x 解决方案： The derivative is f'(x) = -3(x-1)2 This will never be undefined, so x = 1 is the only critical point. Since (x – 1)2 is positive for all x ≠ 1, the derivative f ‘(x) = -3(x – 1)2 is negative for all x ≠ 1. Since f is decreasing, on both sides of number line, we have neither a minimum nor a maximum at x = 1. 设f为在区间I和c∈I上定义的函数。设f为在c处可微分的两倍。然后 (i)如果f’(c)= 0并且f”(c)<0，则x = c可能是局部最大值的点，价值f(c)是f的局部最大值。 (ii)如果在这种情况下，如果fc’()0 =并且f”(c)> 0，则x = c可能是局部最小值的点，f(c)是f的局部最小值。 (iii)如果f’(c)= 0且f”(c)= 0，则测试失败。在这种情况下，我们返回到一阶导数测试，并确定c是否为局部最大值，局部最小值或某种程度上的曲折。 在这种情况下，数字f(c)在I中被称为f的极值，因此点c被称为极值。 示例：查找函数f(x)= 2x 3 – 6x 2 + 6x +5(如果有)的所有局部最大值和局部最小值的所有点。 解决方案： We have (x) = 2x3 -6x2 + 6x + 5 or f'(x) = 6x2 – 12x + 6 = 6(x – 1)2 f”(x) = 12(x – 1) Now f ′(x) = 0 gives x =1. Also f ″(1) = 0. Therefore, second derivative test fails here. So, we will consider the first derivate test 在上面的示例中我们已经看到，使用一阶导数检验，x = 1既不是局部最大值的点也不是局部最小值的点，因此它是拐点。一阶导数检验
二阶导数检验