图的补充

考虑一个集合 A 并且 U 表示全集，那么集合 A 的补集可以通过

Ac =U-A.

但是，图 G(v, e) 是一组顶点和边，是否有可能找到图的补码？下面回答这个问题。

图的补充

图 G 的补集是图 G' 在与 G 相同的一组顶点上，使得 G' 中的两个顶点 (v, e) 之间将有一条边，当且仅当两者之间没有边时 ( v, e) 在 G 中。

图G(v, e)的补码用G'(v, e') 表示。

Note: The number of vertices remains unchanged in the complement of the graph.

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例子：

图形

补图

In the above example in graph G there is a edge between (a, d),(a, c),(a, d).
Complement of Graph G is G' having edges between (a, b),(b, c),(b, d).

补图的性质

1.如果 E 是图 G' 的边集，则E(G')={ (u, v) | (u, v) ∉ E(G) }

图及其补码

2.图 G 及其补集 G' 的并集将给出一个完整的图 (K _n )。

图与补图的并集

3.两个补图的交集没有边，也称为空图

图与补图的交集

4.如果 G 是一个不连通图，那么它的补码 G' 将是一个连通图。

断开连接图的补集是连接的

5.一个图的顺序和它的补码是相同的。图的顺序是其中的顶点数。

示例：

Order of a graph G on a set of vertices is given by G={a, b, c, d, e} is number of vertices in the graph G i.e., 5.

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图 1 和补图 2 的顺序相同。

6. Graph 的大小和它的补码不能相同。图的大小是其中的边数。

例子：

Size of a graph G on the set of edges is G= {(b, d), (c, e) } is the number of edges in the graph i.e., 2.

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图 1 的大小为 2，其补图 2 的大小为 8

笔记：

1.如果 G 是一个图，其边 E 和 K _n表示完整图，则图 G 的补集可以由下式给出

E(G') = E(Kn)-E(G).

2. Complement graph 和 main graph 的 Edges 之和等于完整图中的边数，n 是顶点数。

E(G')+E(G) = E(Kn) = n(n-1)÷2.

练习题：

问题 1.考虑一个简单的图 G，其中 E 表示边，V 表示顶点 |E(G)|= 30，|E(G')|= 36。求 |V(G)|=？

解决方案：

We know,
        E(G')+E(G)=E(Kn)=n(n-1)÷2.
        ⇒ 36+30=n(n-1)÷2
        ⇒ 66=n(n-1)÷2
        ⇒ 66×2=n2-n
        ⇒ n2-n-132=0
        ⇒ n2-12n+11n-132=0
        ⇒ n(n-12)+11(n-12)=0
        ⇒ (n-12)(n+11)=0
Therefore, n=12 and n=-11.
Since vertices cannot be negative
n=12.

问题 2 。考虑一个简单的图 G，其中 E 表示边，V 表示顶点 |E(G)|= 12，|V(G)|= 8。求补图的边数 |E(G')|= ?.

解决方案：

We know,
       E(G')+E(G)=E(Kn)=n(n-1)÷2.
       ⇒ E(G') + 12 =8(8-1)÷2      [here n denotes number of vertices, i.e. given 8]
       ⇒ E(G')+12 = 8(7)÷2
       ⇒ E(G')+12= 4×7
       ⇒ E(G')+12=28
       ⇒ E(G')=28-12
       ⇒ E(G')=16.