前N个自然数的和系列的和

本篇文章介绍了前N个自然数的和系列的和的计算方法和相关算法实现。

问题定义

前N个自然数的和是指前N个正整数相加的结果，即：

$$ \sum_{i=1}^{N}{i} = 1+2+3+...+N $$

而前N个自然数的和系列的和即为：

$$ \sum_{i=1}^{N}{\sum_{j=1}^{i}{j}} = 1+3+6+...+\sum_{i=1}^{N}{i} $$

算法分析

算法一

对于前N个自然数的和，我们可以通过等差数列求和公式来计算：

$$ \sum_{i=1}^{N}{i}=\frac{(N+1)\times N}{2} $$

而对于前N个自然数的和系列的和，我们可以通过将式子展开得到：

$$ \sum_{i=1}^{N}{\sum_{j=1}^{i}{j}} = \sum_{i=1}^{N}{(\frac{i(i+1)}{2})} $$

因此，我们可以依然使用等差数列求和公式来计算：

$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{N}{\sum_{j=1}^{i}{j}} &= \sum_{i=1}^{N}{(\frac{i(i+1)}{2})} \ &= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}{i^2} + \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}{i} \ &= \frac{1}{2}\times\frac{N(N+1)(2N+1)}{6} + \frac{1}{2}\times\frac{N(N+1)}{2} \ &= \frac{N(N+1)(N+2)}{6} \end{aligned} $$

因此，我们可以使用上述公式直接计算前N个自然数的和系列的和。

算法二

对于前N个自然数的和，我们还可以通过循环计算来得到结果：

def sum_n(N):
    res = 0
    for i in range(1, N+1):
        res += i
    return res

而对于前N个自然数的和系列的和，也可以通过循环计算来得到结果：

def sum_series(N):
    res = 0
    for i in range(1, N+1):
        s = 0
        for j in range(1, i+1):
            s += j
        res += s
    return res

总结

本文介绍了前N个自然数的和系列的和的计算方法和相关算法实现，通过等差数列求和公式和循环计算的思想，得到了两种不同的实现方式，可以根据实际情况选择最优算法。