Van Emde Boas树|设置1 |基础与建设

强烈建议您充分了解Proto Van Emde Boas树。

Van Emde Boas Tree支持O(lglgN)时间的搜索，后继，前任，插入和删除操作，这比任何相关数据结构(例如优先级队列，二进制搜索树等)都要快。Van Emde Boas Tree可与O(1)一起使用最小和最大查询的时间复杂度。在此，N是定义树的Universe的大小，而lg是对数基数2。

注意： Van Emde Boas数据结构的密钥集必须在0到n的范围内定义(n是2 ^k的正整数)，并且在不允许重复的密钥时可以使用。

缩略语：

1. VEB是Van Emde Boas树的缩写。
2. VEB( $\sqrt{u}$ )是VEB的缩写，包含u个键。

Van Emde Boas树的结构：

Van Emde Boas树是一个递归定义的结构。

1. u ：VEB树中存在的密钥数。
2. 最小：包含在VEB树中的最小密钥。
3. 最大值：包含VEB树中存在的最大密钥。
4. 摘要：指向新VEB( $\sqrt{u}$ )树，其中包含clusters数组中存在的键的概述。
5. 簇：大小数组$\sqrt{u}$数组中的每个位置都指向新的VEB( $\sqrt{u}$ ) 树。

参见下图以了解Van Emde Boas Tree的基础知识，尽管它并不代表Van Emde Boas Tree的实际结构：

对Van Emde Boas树的基本了解：

1. Van Emde Boas树是递归定义的结构，类似于Proto Van Emde Boas树。
2. 在Van Emde Boas树中，由于Van Emde Boas树存储树结构中存在的Minimum和Maximum键，因此最小和最大查询将在O(1)时间内工作。
3. 添加“最大”和“最小”属性的优点，这有助于降低时间复杂度：
   • 如果VEB树的最小值和最大值中的任何一个为空(代码中为NIL或-1)，则树中不存在任何元素。
   • 如果最小值和最大值相等，则结构中仅存在一个值。
   • 如果两者都存在且不同，则树中将存在两个或多个元素。
   • 我们可以通过在恒定时间(O(1))中根据条件设置最大值和最小值来插入和删除密钥，这有助于减少递归调用链：如果VEB中仅存在一个密钥，则只需设置该密钥即可删除该密钥最小和最大为nil值。同样，如果不存在键，则只需将min和max设置为要插入的键即可插入。这些是O(1)操作。
   • 在后续查询和先前查询中，我们可以根据VEB的最小值和最大值进行决策，这将使我们的工作更加轻松。

在Pro Van Vande Boas树中，宇宙大小的大小被限制为2 ^{2 k}类型，但是在Van Emde Boas树中，它允许宇宙大小精确地为2的幂。因此，我们需要修改Proto Van Emde Boas树中使用的High(x)，low(x)，generate_index()帮助器函数，如下所示。

1. 高(x)：它将返回下限(x / ceil( $\sqrt{u}$ ))，基本上是其中存在键x的聚簇索引。

   高(x)=底线(x / ceil( $\sqrt{u}$ ))

2. 低(x)：它将返回x mod ceil( $\sqrt{u}$ )，即其在集群中的位置。

   低(x)= x％ceil( $\sqrt{u}$ )

3. generate_index(a，b)：它将从键在簇b中的位置及其簇索引a返回键的位置。

   generate_index(a，b)= a * ceil( $\sqrt{u}$ )+ b

   Van Emde Boas树的构造：Van Emde Boas树的构造与Proto Van Emde Boas树的构造非常相似。此处的区别在于，我们允许Universe的大小为2的任意幂，因此high()，low()，generate_index()会有所不同。

   要构造空的VEB：步骤与Proto VEB相同，只是在每个VEB中添加了最小和最大两项。为了表示最小值和最大值为零，我们将其表示为-1。

   注意：在基本情况下，我们只需要最小值和最大值，因为在添加最小值和最大值之后，添加大小为2的簇将是多余的。

   

   下面是实现：

   // C++ implementation of the approach
   #include 
   using namespace std;
     
   class Van_Emde_Boas {
     
   public:
       int universe_size;
       int minimum;
       int maximum;
       Van_Emde_Boas* summary;
       vector clusters;
     
       // Function to return cluster numbers
       // in which key is present
       int high(int x)
       {
           int div = ceil(sqrt(universe_size));
           return x / div;
       }
     
       // Function to return position of x in cluster
       int low(int x)
       {
           int mod = ceil(sqrt(universe_size));
           return x % mod;
       }
     
       // Function to return the index from
       // cluster number and position
       int generate_index(int x, int y)
       {
           int ru = ceil(sqrt(universe_size));
           return x * ru + y;
       }
     
       // Constructor
       Van_Emde_Boas(int size)
       {
           universe_size = size;
           minimum = -1;
           maximum = -1;
     
           // Base case
           if (size <= 2) {
               summary = nullptr;
               clusters = vector(0, nullptr);
           }
           else {
               int no_clusters = ceil(sqrt(size));
     
               // Assigning VEB(sqrt(u)) to summary
               summary = new Van_Emde_Boas(no_clusters);
     
               // Creating array of VEB Tree pointers of size sqrt(u)
               clusters = vector(no_clusters, nullptr);
     
               // Assigning VEB(sqrt(u)) to all of its clusters
               for (int i = 0; i < no_clusters; i++) {
                   clusters[i] = new Van_Emde_Boas(ceil(sqrt(size)));
               }
           }
       }
   };
     
   // Driver code
   int main()
   {
       // New Van_Emde_Boas tree with u = 16
       Van_Emde_Boas* akp = new Van_Emde_Boas(4);
   }