Van Emde Boas树

Van Emde Boas树是一种用于实现字典数据结构的高效有序集合数据结构。它支持插入、查找、最小和最大查询的操作，并可以在O(loglogn)的时间复杂度内完成。

简介

Van Emde Boas树是一种基于分而治之和递归结构的数据结构。它由一个大小为N的有序集合组成，其中N是2的幂。Van Emde Boas树通过将集合划分为一个大小为√N的根节点和√N个子节点，每个子节点的大小也为√N，递归地构建子节点。

结构

Van Emde Boas树的结构包含以下几个部分：

• universe：表示树中元素的全域范围，通常为2的幂。
• summary：一个Van Emde Boas树，用于记录每个子节点中是否包含元素。
• cluster：一个包含√N个Van Emde Boas树的数组，每个数组元素代表一个子节点。

Van Emde Boas树的根节点包含所有元素的信息，而子节点则按照元素的大小进行划分，并递归构建子节点。

插入操作

Van Emde Boas树的插入操作如下：

1. 如果树为空，则将元素直接插入树中。
2. 如果树非空，则将元素插入对应的子节点中。

插入操作的时间复杂度为O(loglogN)。

查找操作

Van Emde Boas树的查找操作如下：

1. 如果树为空，则返回None。
2. 如果树非空，分情况讨论：
   • 如果查找的元素等于当前树的最小值或最大值，则直接返回。
   • 否则，根据元素的大小，在对应的子节点中递归查找。

查找操作的时间复杂度为O(loglogN)。

最小和最大查询

Van Emde Boas树的最小和最大查询操作如下：

• 最小查询：直接返回树中的最小值。
• 最大查询：直接返回树中的最大值。

最小和最大查询操作的时间复杂度为O(1)。

示例代码

下面是一个使用Van Emde Boas树实现插入、查找、最小和最大查询的示例代码片段：

class VEBTree:
    def __init__(self, universe):
        self.universe = universe
        self.min = None
        self.max = None
        if universe <= 2:
            self.cluster = None
            self.summary = None
        else:
            child_universe = int(universe**0.5)
            self.cluster = [VEBTree(child_universe) for _ in range(child_universe)]
            self.summary = VEBTree(child_universe)

    def insert(self, x):
        if self.min is None:
            self.min = x
            self.max = x
        else:
            if x < self.min:
                x, self.min = self.min, x
            if self.universe > 2:
                high = x // int(self.universe**0.5)
                low = x % int(self.universe**0.5)
                if self.cluster[high].min is None:
                    self.summary.insert(high)
                    self.cluster[high].min = low
                    self.cluster[high].max = low
                else:
                    self.cluster[high].insert(low)
            if x > self.max:
                self.max = x

    def find(self, x):
        if x == self.min or x == self.max:
            return True
        elif self.universe <= 2:
            return False
        else:
            high = x // int(self.universe**0.5)
            low = x % int(self.universe**0.5)
            return self.cluster[high].find(low)

    def minimum(self):
        return self.min

    def maximum(self):
        return self.max

以上代码中的VEBTree类是对Van Emde Boas树的简单实现，其中包含了插入、查找、最小和最大查询的函数。

参考资料：

• Van Emde Boas tree - Wikipedia