Proto Van Emde蟒蛇树|套装3 |插入和isMember查询

请参阅Proto Van Emde Boas树上的先前文章以正确理解这些内容。

插入步骤：

1. 基本情况：如果Proto-VEB的大小为2，则将true分配给位数组(在此代码中，由于递归结构，我们分配了Proto-VEB(1)，因此现在它不是nullptr，它作为true)键的位置。
2. 在达到基本情况之前，我们将递归调用包含键的群集上的插入，现在我们还将键用作键在该群集中的位置，而不是查询键。
   我们将对摘要执行相同的过程，该过程将根据插入的键将true赋值。

示例：让我们将2插入Proto-VEB(u = 4)：从插入过程开始，因为Proto-VEB的大小大于2，所以将开始递归，因此我们递归调用簇2 /上的insert() $\sqrt{4}$这是1，它的位置是2％ $\sqrt{4}$它是0，所以递归调用将是insert(cluster [1]，0)。

并且cluster [1]的大小为2个Proto-VEB，我们在基本情况下达到了，因此它将在代码Proto-VEB(1)中将true分配给true [ ^c ] cluster [1] 0位。

同样，我们将对摘要执行相同的过程。

请参阅下图，以更清楚地了解：

请按照从上至下在方框附近写的说明进行操作。

isMember过程：此过程根据密钥是否存在于Proto-VEB中返回布尔值。了解上面的图像以了解其想法是非常琐碎的。

1. 基本情况：如果Proto-VEB大小为2，则检查键位置的位数组值是否为true，并相应地返回值。 (在代码中，我们检查键位置处的指针是否为nullptr。)
2. 递归：我们对包含键的集群进行递归调用，直到达到基本情况为止。

以上算法的实现：

// C++ implementation of the approach
#include 
using namespace std;
  
class Proto_Van_Emde_Boas {
public:
    // Total number of keys
    int universe_size;
  
    // Summary
    Proto_Van_Emde_Boas* summary;
  
    // Clusters array of Proto-VEB pointers
    vector clusters;
  
    int root(int u)
    {
        return int(sqrt(u));
    }
  
    // Function to return cluster numbers
    // in which key is present
    int high(int x)
    {
        return x / root(universe_size);
    }
  
    // Function to return position of x in cluster
    int low(int x)
    {
        return x % root(universe_size);
    }
  
    // Function to return the index from
    // cluster number and position
    int generate_index(int cluster, int position)
    {
        return cluster * root(universe_size) + position;
    }
  
    // Constructor
    Proto_Van_Emde_Boas(int size)
    {
        universe_size = size;
  
        // Base case
        if (size <= 2) {
  
            // Set summary to nullptr as there is no
            // more summary for size 2
            summary = nullptr;
  
            // Vector of two pointers
            // nullptr in starting
            clusters = vector(size, nullptr);
        }
        else {
  
            // Assiging Proto-VEB(sqrt(u)) to summary
            summary = new Proto_Van_Emde_Boas(root(size));
  
            // Creating array of Proto-VEB Tree pointers of size sqrt(u)
            // first all nullptrs are going to assign
            clusters = vector(root(size), nullptr);
  
            // Assigning Proto-VEB(sqrt(u)) to all its clusters
            for (int i = 0; i < root(size); i++) {
                clusters[i] = new Proto_Van_Emde_Boas(root(size));
            }
        }
    }
};
  
// Function that returns true if the
// key is present in the tree
bool isMember(Proto_Van_Emde_Boas* helper, int key)
{
    // If key is greater then universe_size then
    // returns false
    if (key >= helper->universe_size)
        return false;
  
    // If we reach at base case
    // the just return whether
    // pointer is nullptr then false
    // else return true
    if (helper->universe_size == 2) {
        return helper->clusters[key];
    }
    else {
  
        // Recursively go deep into the
        // level of Proto-VEB tree using its
        // cluster index and its position
        return isMember(helper->clusters[helper->high(key)],
                        helper->low(key));
    }
}
  
// Function to insert a key in the tree
void insert(Proto_Van_Emde_Boas*& helper, int key)
{
    // If we reach at base case
    // then assign Proto-VEB(1) in place
    // of nullptr
    if (helper->universe_size == 2) {
        helper->clusters[key] = new Proto_Van_Emde_Boas(1);
    }
    else {
  
        // Recursively using index of cluster and its
        // position in cluster
        insert(helper->clusters[helper->high(key)],
               helper->low(key));
  
        // Also do the same recusion in summary VEB
        insert(helper->summary, helper->high(key));
    }
}
  
// Driver code
int main()
{
    Proto_Van_Emde_Boas* hello = new Proto_Van_Emde_Boas(4);
  
    cout << isMember(hello, 3);
  
    insert(hello, 3);
  
    cout << isMember(hello, 3);
}

插入算法复杂度递归：

T(u)= 2T( $\sqrt{u}$ )+ O(1)

该算法在O(log2(u))最坏的情况下运行。

isMember算法复杂度递归：

T(u)= T( $\sqrt{u}$ )+ O(1)

该算法在O(log2(log2(u)))最坏的情况下运行。