最小瓶颈生成树(MBST)

无向图中的最小瓶颈生成树是其最昂贵的边尽可能最小的树。在本文中，我们将更多地了解如何识别最小瓶颈生成树，并了解每个最小生成树都是最小瓶颈生成树。

最小生成树与最小瓶颈生成树完全不同。生成树中的瓶颈是该树中存在的最大权重边。同一棵生成树可能存在许多瓶颈。让我们通过以下示例来了解这一点：

示例1：让给定的图形为G。让我们找到所有可能的生成树。

对于给定的图G，上图说明了给定图的所有生成树。在所有的生成树中，最小的生成树是权重为8的树。由于所有生成树的瓶颈边缘值都相同，因此所有生成树都是给定图的最小瓶颈生成树。但是，它们都不是最小的生成树，因为仅对于这两个生成树而言，总权重为minimum(8)。

示例2：让给定的图为G。让我们找到所有可能的生成树。

对于给定的图G，上图说明了给定图的所有生成树。在生成树中，最小生成树是权重为3的树。最小瓶颈生成树是瓶颈边缘权重为3的树。这里，最小生成树是最小瓶颈生成树，但不是所有最小瓶颈生成树不是最小生成树。

证明每个最小生成树都是最小瓶颈生成树：假设T是图G(V，E)的最小生成树，而T’是它的最小瓶颈生成树。考虑T和T’的最大重量边缘(瓶颈边缘)。然后，可能出现三种情况：

1. 情况1：如果两条边恰好是同一条边。然后，T是最小瓶颈生成树(即)，由于G的任意选择，每个MST都是MBST。
2. 情况2：如果两个边缘碰巧是不同的边缘，则T’的权重大于T中的最大加权边缘是不可能的，因为T’是MBST。
3. 情况3：假设T的最大权重边(p，q)的权重大于瓶颈生成树T’的权重。然后：
   • 令X为T中V的顶点的子集，它可以从p到达而无需经过q。
   • 类似地，令Y为T中V的顶点的子集，它可以从q到达而无需经过p。
   • 由于G是一个连通图，因此X和Y之间应该有一个切边。唯一可以在此切边上添加的边是最小权重之一。
   • 但是，通过定义X和Y的方式，我们知道(p，q)是最小重量的唯一可能的刀沿。
   • 但是，我们有一个瓶颈，生成树T’的权重小于w(p，q)。
   • 这是一个矛盾，因为瓶颈生成树本身就是一棵生成树，并且在此切口上必须有一条边。并且，它的权重将小于w(p，q)。
   • 因此，假设是错误的，唯一的可能性是T和T’的最大重量边缘(瓶颈边缘)相同。
   • 然后，通过案例1，证明已经完成，因此表明每个MST都是MBST。