最小瓶颈生成树

最小瓶颈生成树（Minimum Bottleneck Spanning Tree，MBST）是一种针对图的最小生成树问题的优化，它旨在找到一棵生成树，使树中边的最大权重尽可能小。

算法思路

MBST可以由普通的最小生成树算法（如Prim或Kruskal）通过修改得到。具体来说，我们可以在Prim或Kruskal算法的每一步中，选择下一条边时，选择权重最小的边中，满足没有与已选边构成环，且权重最大的边。

具体来说，在Prim算法中，我们需要维护一个当前生成树的顶点集合 $S$，以及一个集合 $V-S$ 中所有点到 $S$ 中节点距离最小的点 $p$ 和其距离 $d$。然后，在选择下一个节点时，除了选择距离最小点 $p$ 相连的边外，还需要考虑所有满足没有与已选边构成环，且权重最大的边，从中选择权重最小的边加入生成树。同理，在Kruskal算法中也需要记录当前生成树中各个连通块的最大边权。

代码示例

下面是一个使用Prim算法实现MBST的代码示例。

import heapq


def min_bottleneck_spanning_tree(graph, start):
    """
    Find the minimum bottleneck spanning tree of a graph starting from a given node using Prim's algorithm.
    :param graph: a list of lists, representing the adjacency matrix of the graph
    :param start: the starting node
    :return: a list of tuples, representing the minimum bottleneck spanning tree (each tuple is an edge)
    """
    n = len(graph)
    # initialize the tree
    tree = []
    visited = {start}
    # initialize the heap with all edges from the starting node
    heap = [(weight, start, v) for v, weight in enumerate(graph[start])]
    heapq.heapify(heap)
    # main loop
    while len(tree) < n - 1:
        # select the next edge with minimum weight
        weight, u, v = heapq.heappop(heap)
        # if v has been visited before, discard this edge
        if v in visited:
            continue
        # add the edge to the tree and mark v as visited
        tree.append((u, v))
        visited.add(v)
        # update the heap with the new edges from v
        for w, weight in enumerate(graph[v]):
            if w not in visited:
                heapq.heappush(heap, (max(weight, graph[u][v]), v, w))
    return tree

时间复杂度

MBST的时间复杂度与Prim或Kruskal算法相同，为 $O(E \log V)$，其中 $E$ 和 $V$ 分别为边数和节点数。不过实际上，MBST算法的运行时间可能会略高于普通的最小生成树算法，因为它需要在每一步中找到最大边权，需要一些额外的计算。