最小瓶颈生成树（MBST）介绍

简介

最小瓶颈生成树（Minimum Bottleneck Spanning Tree，MBST）是求一张无向带权图的最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）中最大边权最小的生成树。MBST 是一种优化问题，其目的在于找到一种边框架，从图的顶点间选择边，以便创建节点之间的连通性，并使生成树中最大边的权重尽可能小。

算法思路

MBST 算法的思路类似于 Kruskal 和 Prim 算法。其算法步骤如下：

1. 对所有边按权重从小到大进行排序。
2. 遍历所有已排序的边，从小到大依次将它们加入生成树中。
3. 对于已加入的每条边，都检查新边与生成树的连通性。如果新边可以连通两个已加入的节点，则加入这条边。当已加入边的数量达到 n - 1 条时，生成树构建完成。

在这个过程中，添加新边的方式需要利用并查集来维护图的连通性。并查集使得我们可以知道两个节点是否已经联通，从而避免生成形成环的边。

代码实现

以下是 Python 代码片段，在 Kruskal 算法的基础上进行了修改，以实现 MBST 算法。

def MBST(graph):
    # Kruskal with slight modification
    graph = sorted(graph, key=lambda x: x[-1])  # sort by edge weight
    parent = [-1] * len(graph)
    max_edge_weight = 0

    def find_parent(x):
        if parent[x] == -1:
            return x
        return find_parent(parent[x])

    def add_to_MST(x):
        nonlocal max_edge_weight
        parent[find_parent(x[0])] = find_parent(x[1])
        max_edge_weight = max(max_edge_weight, x[-1])

    for edge in graph:
        if find_parent(edge[0]) != find_parent(edge[1]):
            add_to_MST(edge)
            if sum(1 for p in parent if p == -1) == 1:
                break
    return max_edge_weight

应用场景

MBST 算法的应用场景在网络优化中非常常见。例如，考虑在通信网络中选择路由，以最小化网络拥塞的可能性。此时，MBST 算法可以帮助我们选择能够将网络断开拓扑图的最小边集的路由方案。此外，在设施或基础设施规划中，MBST 算法还可以用于找到最小的电缆或管道网络，以满足特定需求和预算要求。