关于树的一些基本定理

树：-没有任何电路的连接图称为树。换句话说，树是满足以下任何等效条件的无向图G：

• G中的任意两个顶点可以通过唯一的简单路径连接。
• G是非循环的，如果将任何边添加到G，就会形成一个简单的循环。
• G已连接并且没有周期。
• G已连接，但是如果从G移除任何一条边，它将断开连接。
• G已连接，并且3个顶点完成图K3不是G的小数。

例如：

• 该图是一棵树：
  
• 该图不是树：
  

与树有关的一些定理是：

• 定理1 ：证明对于树(T)，树中每对顶点之间只有一条路径。

  证明：由于树(T)是连通图，因此树(T)中的每对顶点之间至少存在一条路径。现在，假设树(T)的两个顶点a和b之间存在两条路径。这两个路径的并集将包含一个电路，并且树(T)不能是树。因此，以上陈述得到证明。

  

  图3：树(T)

• 定理2：如果在图G中每对顶点之间只有一条路径，那么图G就是一棵树。

  证明：每对顶点之间都存在一条路径，因此我们假设图G是连通的。图中的电路表示至少有一对顶点a和b，因此a和b之间有两条不同的路径。由于G在每对顶点之间只有一条路径。 G不能有任何电路。因此，图G是一棵树。

  

  图4：给定图G

• 定理3：证明具有n个顶点的树具有(n-1)个边。

  证明：设n为树(T)中的顶点数。
  如果n = 1，则边数= 0。
  如果n = 2，则边数= 1。
  如果n = 3，则边数= 2。

  因此，对于n = 1、2、3，该语句(或结果)为true。

  令对于n = m的陈述为真。现在我们要证明对于n = m + 1是正确的。

  让$e$是连接顶点的边，说Vi和Vj。由于G是一棵树，因此在顶点Vi和Vj之间仅存在一条路径。因此，如果我们删除边e，它将被断开连接成两个分量G1和G2。这些分量具有少于m + 1个顶点，并且没有电路，因此每个分量G1和G2都有m1和m2顶点。

  Now, the total no. of edges = (m1-1) + (m2-1) +1
                              = (m1+m2)-1
                              = m+1-1
                              = m.
  

  因此，对于n = m + 1个顶点，在树(T)中有m个边。通过数学归纳法，该图恰好具有n-1个边。

  

  图5：给定树T

• 定理4：证明任何具有n个顶点和(n-1)个边的连通图G是一棵树。

  证明：我们知道制作n个顶点的图所需的最小边数为(n-1)个边。我们可以观察到从图形G中删除一条边将使其断开。因此，n个顶点和(n-1)个边的连接图不能有电路。因此，图G是树。

  

  图6：图G

• 定理5：证明具有n个顶点， (n-1)个边且没有电路的图是连通图。

  证明：让图G断开，然后至少存在两个分量G1和G2。每个组件都是无电路的，而G是无电路的。现在，要使图G连通，我们需要在顶点Vi和Vj之间添加一个边e，其中Vi是G1的顶点，Vj是分量G2的顶点。
  现在，G中的边数=(n – 1)+1 = n。

  

  图7：断开的图

  现在，G是具有n个顶点和n条边的无图连接图和无电路，这是不可能的，因为所连接的无电路图是一棵树，而具有n个顶点的树具有(n-1)条边。因此，连接了具有n个顶点， (n-1)个边且没有电路的图G。因此，证明了给定的陈述。

  

  图8：连通图G

• 定理6：当且仅当图G最小连接时，图G就是树。

  证明：让图G最小连接，即；去除一侧边缘使其断开连接。因此，没有电路。因此，图G是一棵树。
  相反，让图G是一棵树，即；每对顶点之间只有一条路径，并且我们知道从路径中移除一条边会使图断开。因此，图G的连接最少。

  

  图9：最小连接图

• 定理7：每棵至少有两个顶点的树都有至少两个垂点。

  证明：设给定树T的顶点数为n，n> = 2。因此，使用上述定理，树中的边数T = n-1。

  summation of (deg(Vi)) = 2*e
                         = 2*(n-1)
                         =2n-2
  

  程度和将在n个顶点之间分配。由于树T是一个连通图，因此它的顶点不能为零。每个顶点对上述总和至少贡献一个。因此，至少必须有两个度数为1的顶点。因此，每棵至少有两个顶点的树都至少有两个悬垂顶点。

  

  图10：这里的a，b和d是给定图的下垂顶点

• 定理8：证明每棵树都有一个或两个中心。

  证明：我们将使用一种观察结果，即只有当w是悬垂顶点时，才会出现从给定顶点v到任何其他顶点w的最大距离max d(v，w)。

  现在，让T是具有n个顶点的树(n> = 2)

  T必须至少有两个悬垂顶点。从T删除所有垂线顶点，然后得到的图T’仍然是一棵树。再次从T’删除悬垂顶点，以使生成的T“仍然是具有相同中心的树。

  请注意，以T为中心的所有顶点仍将保持在T’–> T” –> T”’–>…中的中心。

  继续此过程，直到剩下的树具有一个顶点或一个边。因此，最后，如果有一个顶点，则意味着树T具有一个中心。如果有一条边，那么树T有两个中心。

• 定理9：证明二叉树中“ L”级的最大顶点数为$2^L$ ，其中L> = 0。

  证明：在数学归纳法的帮助下证明了给定的定理。在级别0(L = 0)处，只有一个顶点在级别(L = 1)，仅存在一个顶点$2^1$顶点。

  现在我们假设该语句对于级别(L-1)是正确的。

  因此，级别(L-1)上的最大顶点数量为$2^L-1$ 。由于我们知道二叉树中的每个顶点在下一级别中最多包含2个顶点，因此级别L上的顶点数量是级别L-1的两倍。

  因此，在级别L处，顶点的数量为：

  $2^1$ * $2^(L-1)$ = $2^L$ 。