谜题72 |疾病和测试

迪诺担心他可能患有一种罕见的疾病。他决定对自己进行检测，并假设这种疾病的检测方法在 99% 的情况下都是正确的（换句话说，如果他患有这种疾病，则表明他有 99% 的可能性，如果他没有有病，这表明他没有 99% 的可能性）。假设这种疾病实际上非常罕见，在一般人群中每 10,000 人中只有一个随机发生。
如果他的检测结果呈阳性，那么他实际患上这种疾病的可能性有多大？

1. .99
2. .90,
3. .10
4. .01

答案：答案是(d) ，他得病的几率不到 1%。

解释：
在讨论了令人惊讶的概率的原因（如下）之后，您应该看到更改参数如何影响结果。如果这种疾病更常见，结果会如此令人惊讶吗？如果允许误报和漏报的百分比不同，概率会如何变化？

这个事实可以使用称为贝叶斯定理的东西推导出来，它帮助我们找到给定事件 B 的事件 A 的概率，写成 P(A|B)，根据给定 A 的 B 的概率，写成 P(B|A) ，以及 A 和 B 的概率：

P(A|B) = P(A)P(B|A) / P(B)
                                  => P(B) = P(A)P(B|A)/P(A/B)

• 在这种情况下，事件 A 是他患有这种疾病的事件，事件 B 是他测试呈阳性的事件。
• 因此，P(B|not A) 是“假阳性”的概率：即使他没有患病，他的检测结果也呈阳性。这里，P(B|A)=.99，P(A)=.0001，P(B) 可以通过事件 A 是否发生的条件推导出：
  P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|not A)P(not A) 或 .99*.0001+.01*.9999。因此，您从贝叶斯定理得到的比率小于 1%。

我们得到如此惊人结果的根本原因是因为这种疾病非常罕见，以至于假阳性的数量大大超过了真正患有这种疾病的人数。这可以通过思考我们在 100 万个案例中可以期待什么来看到。在这百万人中，大约有 100 人患有这种疾病，其中大约 99 人将被正确诊断为患有这种疾病。否则，100 万人中约有 999,900 人不会患病，但在这些病例中，约有 9999 人将是假阳性（由于错误而导致检测结果呈阳性）。因此，如果他测试呈阳性，那么他实际患有这种疾病的可能性约为 99/(99+9999)，这与上述分数相同，约为 0.0098 或小于 1%！

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