共线性问题是NP完全的证明

问题：给定3个点a ， b ， c ，任务是检查这三个点是否共线。

说明：问题的一个实例是为问题指定的输入。共线性问题的一个实例是三个点((a _x ，a _y )，(b _x ，b _y )，(c _x ，c _y )) 。由于NP-Complete是一个在NP和NP-hard中都存在的问题，因此证明问题为NP-Complete的陈述的证明包括两部分：

1. The problem itself is in NP class.
2. All other problems in NP class can be polynomial-time reducible to that.
   (B is polynomial-time reducible to C is denoted as B ≤ P^C)

如果仅满足第二个条件，则该问题称为NP-Hard 。
但是不可能始终将每个NP问题都简化为另一个NP问题以显示其NP完整性。这就是为什么显示一个问题是NP完全的，证明该问题在NP中并且任何NP-Complete问题都可以解决。因此，可以使用以下命题证明共线性问题是NP-Complete：

共线性问题在NP中：
如果NP中存在任何问题，则给定“证明”，它是问题的解决方案和问题的实例(三个点a ， b ， c的集合)，我们将能够识别(解决方案是否为多项式时间内的正确与否)证书。可以通过检查以下内容来完成：

$\frac{b_{y}-a_{y}}{b_{x}-a_{x}}=\frac{c_{y}-b_{y}}{c_{x}-b_{x}}=0$

共线性问题是NP-Hard ：
为了证明共线性问题是NP-Hard，请从已知的NP-Hard问题即3-Sum简化为共线性问题。对于在3-萨姆实例每个x，映射从x到(X，X ^3)。现在，从3个总和实例(x，y，z)中，我们有((x，x ³ )，(y，y ³ )，(z，z ³ )) 。
以下命题成立：

令集合S具有共线点(x，x ³ )，(y，y ³ )，(z，z ³ )
现在，

=> $\frac{z^{3}-y^{3}}{z-y}=\frac{y^{3}-x^{3}}{y-x}=0$

=> $y^{2}+xy+x^{2}=z^{2}+xz+x^{2}$

=> $-xz+xy=z^{2}-y^{2}$

=> $-x=z+y$

=> $x+y+z=0$

因此，(x，y，z)是共线点。这些方程式是可以互换的。
因此，共线性问题是NP-Complete 。