共线性问题是NP完全的证明

共线性问题是指在平面上给定若干个点，判断它们是否共线。这个问题看起来很简单，但是它却是一个NP完全问题。本文将介绍共线性问题的NP完全证明。

NP问题和NP完全问题

首先，我们需要了解NP问题和NP完全问题。NP问题是指可以在多项式时间内验证一个解的问题。而NP完全问题是指既属于NP问题又属于NP-hard问题的问题。NP-hard问题是指NP问题的困难版，它指的是无法在多项式时间内求解的问题。因此，NP完全问题被认为是NP问题中最难的一类问题。

共线性问题是NP问题

显然，我们可以用暴力枚举的方法来解决共线性问题，即对每两个点求其连线斜率是否相等，时间复杂度为O(n^3)。这样，我们就可以在多项式时间内验证一个解，因此共线性问题是NP问题。

共线性问题是NP完全问题

那么，我们接下来要证明的是，共线性问题是NP-hard问题。我们可以将3-SAT问题规约到共线性问题。3-SAT问题是一个NP完全问题，它的定义如下：

给定一个布尔表达式，其中每个布尔变量都只出现了一次或者取反一次，例如(x1 or not x2 or x3) and (x2 or not x3 or not x4) and (not x1 or x2 or not x4)。问题是要找到一组变量的值，使得整个表达式为真。

我们将3-SAT问题转化成共线性问题的方法如下：将每个布尔变量看做一个点，将每个子句看做一个三角形。对于每个子句(x1 or not x2 or x3)，我们将其转化成三个点(x1,1),(x2,0),(x3,1)，这三个点构成一个三角形。如果子句中出现了一个变量的取反形式，那么对应点的y坐标为0，否则为1。这样，我们就将3-SAT问题转化成了若干个三角形是否共线的问题。

因此，我们成功地将3-SAT问题规约到了共线性问题，证明了共线性问题是NP-hard问题。既属于NP问题又属于NP-hard问题的问题就是NP完全问题，因此，共线性问题是NP完全问题。

总结

共线性问题看起来很简单，但是它却属于NP完全问题。本文介绍了NP问题和NP完全问题的定义，证明了共线性问题是一个NP问题和NP-hard问题，从而得出了共线性问题是NP完全问题的结论。