动态规划中的最佳子结构属性DP-2

简介

在动态规划中，最佳子结构是一种性质，指一个问题的最优解可以通过使用其子问题的最优解来得到。

通过利用最佳子结构，动态规划可以帮助我们解决许多实际问题，包括路径规划、字符串匹配、背包问题等。

最佳子结构的定义

对于一个问题，如果其最优解可以通过其子问题的最优解来得到，则该问题拥有最佳子结构属性。

例如，在矩阵乘法中，问题可以分解为子问题计算每一对矩阵相乘的代价，并组合成最终的解。因为对于每对矩阵，它们各自的最优相乘顺序可以通过它们的子问题最优解来计算得到，所以矩阵乘法具有最佳子结构。

还有一个经典的例子是最长公共子序列问题。在该问题中，我们需要找到两个字符串中最长的公共子序列。这个问题可以拆解为子问题，其中每个子问题解决了两个子字符串的最长公共子序列问题。因为两个字符串的子问题最优解可以组成原问题的最优解，所以该问题也具有最佳子结构。

最佳子结构的应用

最佳子结构经常被应用于动态规划问题中。动态规划是一种解决经常涉及最优化问题的算法。它使用动态规划表来存储问题的所有子问题的解，并迭代地计算最终解。

在动态规划中，最佳子结构的应用通常包括以下两个步骤：

1. 定义子问题
2. 定义递归式

定义子问题时，我们需要确定问题如何分解成更小的子问题。例如，在矩阵乘法中，子问题是计算每一对矩阵相乘的代价。在最长公共子序列问题中，子问题是找到两个子字符串的最长公共子序列。

在定义递归式时，我们需要确定如何组合子问题的最优解来计算原问题的最优解。这通常涉及到当前子问题的结果与剩余子问题的结果的某种组合方式。

例如，在矩阵乘法中，我们可以将两个子问题的最优解相乘得到当前问题的最优解。在最长公共子序列问题中，我们可以将当前字符匹配的情况与不匹配的情况进行比较，以确定当前子问题的最优解。

示例代码

# 以斐波那契数列为例，演示最佳子结构的应用

def fib(n: int) -> int:
    """
    计算斐波那契数列的第n项
    """
    if n == 0 or n == 1:
        return n
    
    # 使用递归式来计算最优解
    return fib(n - 1) + fib(n - 2)

在这个代码中，我们使用了递归式来计算斐波那契数列的第n项。虽然该解法正确，但是由于没有利用最佳子结构属性，所以其时间复杂度为指数级别。

接下来，我们使用动态规划来改进该算法。

def fib(n: int) -> int:
    """
    计算斐波那契数列的第n项
    """
    if n == 0 or n == 1:
        return n
    
    # 使用动态规划表来记录子问题的解
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[0], dp[1] = 0, 1
    
    for i in range(2, n + 1):
        # 利用最佳子结构的性质，将子问题的最优解组合成当前问题的最优解
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    
    return dp[n]

在改进后的代码中，我们使用了动态规划表来存储子问题的解。在计算当前子问题的最优解时，我们利用了最佳子结构的性质，将子问题的最优解相加得到当前问题的最优解。这样，我们就成功地将时间复杂度从指数级别降低到了线性级别。