动态规划中的重叠子问题性质 | DP-1

简介

动态规划是一种常见的算法设计技术，通常用于优化问题，例如计算最短路径、最长公共子序列等等。

在动态规划中，重叠子问题性质是一种重要的概念。它表示在一个计算过程中，我们可能会多次计算相同的子问题。这就导致了算法效率的降低。

为了避免重复计算，可以使用记忆化搜索或者备忘录技术。这种方法允许我们使用空间来换取时间，从而加快算法速度。

详细解析

假设我们要求解某一问题的最优解。通常情况下，我们需要进行大量的计算，才能找到最优解。

尤其是在一些计算较为复杂的问题中，我们可能需要很长时间才能找到答案。在这个过程中，我们可能会多次计算相同的子问题。

例如，我们要计算斐波那契数列的第 n 项：

def fib(n):
    if n <= 0:
        return 0
    if n == 1:
        return 1
    return fib(n-1) + fib(n-2)

这个算法中，我们每次都需要递归计算 fib(n-1) 和 fib(n-2)，这就导致了子问题的重叠。

为了避免这个问题，我们可以使用备忘录技术，将计算过的结果保存下来，以便后续使用。

def memo_fib(n, memo):
    if n <= 0:
        return 0
    if n == 1:
        return 1
    if memo[n] != -1:
        return memo[n]
    memo[n] = memo_fib(n-1, memo) + memo_fib(n-2, memo)
    return memo[n]

n = 10
memo = [-1] * (n+1)
print(memo_fib(n, memo))

在这个算法中，我们使用了一个数组 memo 来保存计算过的结果。如果在之后的计算中遇到了相同的子问题，就可以直接调用保存的结果，避免了重复计算的问题。

注意事项

• 动态规划算法通常会面临子问题重叠的问题，这会导致算法效率较低。
• 为了避免这个问题，我们可以使用备忘录技术来保存计算过的结果，避免重复计算。
• 备忘录技术能够加速动态规划算法，但也会增加算法的空间复杂度。需要根据具体情况来权衡时间和空间的代价。

结论

动态规划是一种常见的算法设计技术，但常常会面临子问题重叠的问题。为了避免重复计算，我们可以使用备忘录技术，将计算过的结果保存下来，以便后续使用。这个方法可以大大加速算法，但也会增加空间复杂度。