规范霍夫曼编码

霍夫曼编码是一种以变长编码表来给字符编码的编码方式。规范霍夫曼编码是一种将编码表大小减少到最小的一种霍夫曼编码方式。本篇文章将为程序员介绍规范霍夫曼编码。

基本原理

在一个二叉树上，从根节点到每一个叶子节点都有一条路径，路径上的每一个左分支表示0，右分支表示1。规范霍夫曼编码的基本原理是：在构造霍夫曼树的过程中，将频率最低的两个字符合并成一个节点，直到只剩下一个节点，这个节点上的所有叶子节点组成了最终的编码表，其中编码长度越短的字符编码越小。

算法步骤

以下是规范霍夫曼编码的算法步骤：

1. 根据字符频率构造霍夫曼树

   首先，将所有的字符作为叶子节点，它们的出现频率作为节点权值，构造一棵霍夫曼树。具体构造方法如下：

   1. 创建一个空的节点集合，将所有的字符节点加入到集合中。
   2. 当节点集合中还有至少两个节点时，找到频率最低的两个节点合并成一个新的节点，新节点的权值为两个节点的权值之和，并将新节点加入到节点集合中。
   3. 当节点集合中只剩下一个节点时，霍夫曼树构造完成。

2. 构造编码表

   在规范霍夫曼编码中，字符编码的基本单位是比特位。将从根节点走到每个叶子节点的路径上的字符0和1表示为比特位，可以得到每个字符的二进制编码。具体构造方法如下：

   1. 从根节点开始遍历霍夫曼树，对于每个叶子节点，从节点到根节点的路径上的所有分支的方向构成的序列就是该叶子节点的编码。
   2. 将所有字符及其对应的编码存储到一个编码表中，以便后续编码和解码。

3. 规范化编码表

   对于任意非空符号集合，都可以构造多个不同的霍夫曼编码，规范霍夫曼编码则是取编码长度最小的那个编码。具体构造方法如下：

   1. 对编码表中的每个编码计算编码长度，将所有编码按照长度从小到大排序。
   2. 从最短的编码开始，对于每个编码，依次为其分配最小的可用前缀，直到所有编码都分配了前缀。
   3. 将编码表中的所有编码替换为其规范化后的编码。

示例代码

以下是Python实现的规范霍夫曼编码的示例代码：

import heapq
from collections import defaultdict

def huffman_encoding(s):
    freq = defaultdict(int)
    for c in s:
        freq[c] += 1
    pq = [(f, i, (i,)) for i, f in enumerate(freq) if f]
    heapq.heapify(pq)
    while len(pq) > 1:
        _, i, l = heapq.heappop(pq)
        _, j, r = heapq.heappop(pq)
        p = freq[i] + freq[j]
        heapq.heappush(pq, (p, j, r))
        heapq.heappush(pq, (p, i, l))
    _, i, l = heapq.heappop(pq)
    code = {}
    for bit, c in enumerate(l):
        code[c] = "{0:b}".format(bit)
    min_len = min(len(code[c]) for c in code)
    prefix = 0
    while prefix < min_len:
        bits = set(code[c][prefix] for c in code if len(code[c]) > prefix)
        if len(bits) > 1:
            break
        prefix += 1
    prefix_map = {}
    for c in code:
        prefix_map[c] = code[c][:prefix]
    return "".join(prefix_map[c] + code[c][prefix:] for c in s), prefix_map

def huffman_decoding(enc, code):
    s = []
    i = 0
    while i < len(enc):
        for c in code:
            if enc.startswith(code[c], i):
                s.append(c)
                i += len(code[c])
                break
        else:
            raise ValueError("invalid encoding")
    return "".join(s)

此示例代码实现了规范霍夫曼编码的功能，输入一个字符串，输出该字符串的规范霍夫曼编码和编码表。其中s为输入字符串，huffman_encoding(s)返回编码后的字符串和编码表，huffman_decoding(enc, code)为编码解码函数，输入编码字符串和编码表，返回原始字符串。