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📜  向量的乘积

📅  最后修改于: 2022-05-13 01:57:37.673000             🧑  作者: Mango

向量的乘积

向量运算几乎在物理领域的任何地方都使用。很多时候，这些运算包括加法、减法和乘法。加法和减法可以使用向量加法的三角定律来执行。在乘积的情况下，向量乘法可以通过点积或向量积两种方式完成。向量乘积将向量作为乘积后的结果。在旋转运动中，许多量是使用矢量积导出的。了解该产品背后的概念和直觉变得至关重要。让我们详细看看这个产品。

向量的乘积

在向量乘法的情况下，基本上有两种乘积——标量和向量。点积是一种产生标量的乘法。叉积是一种产生向量的乘法。向量积用于定义其他派生向量。扭矩、角速度和加速度的方程。所有这些量都涉及从向量产生向量的操作。这些操作通常是向量积。

点积

考虑两个向量 \vec{A}  和 \vec{B} .这两个向量的标量积由等式定义，

\vec{A}.\vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|cos(\theta)

这里， θ是两个向量之间的角度。

如果向量由它们的分量给出。例如 a = a 1 i + a 2 j + a 3 k 和 b = b 1 i + b 2 j + b 3 k。在这种情况下，点积由下式给出，

ab = a 1 b 1 i + a 2 b 2 j + a 3 b 3 k

矢量产品

考虑两个向量  \vec{A} 和 \vec{B}。这两个向量的向量积表示为 \vec{A} \times \vec{B} .这个向量的方向垂直于两个向量。该向量的大小由下式给出，

|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}||\vec{B}|sin(\theta)

这里， θ是两个向量之间的角度。

右手定则用于从叉积确定结果向量的方向。

如果向量由它们的分量给出。例如 a = a 1 i + a 2 j + a 3 k 和 b = b 1 i + b 2 j + b 3 k。在这种情况下，叉积由下式给出，

 \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \\

性质1：与加法和点积不同，向量积本质上是不可交换的。

\vec{a} \times \vec{b} \ne \vec{b} \times \vec{a}

在这种情况下，两个产品的大小将相同，但方向将完全相反。这意味着，

\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})

属性 2：向量积在向量加法方面具有分布性质。例如，

\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}

示例问题

问题 1：两个向量由下式给出，a = 2i + j + k 和 b = i + j + k。求这两个向量的点积。

回答：

问题 2：两个向量由下式给出，a = i + j + k 和 b = i – 2j + 3k。求这两个向量的点积。

回答：

问题 3：两个向量由下式给出，a = 4i +2 j +2 k 和 b = 2i + 2j + 2k。求这两个向量的叉积。

回答：

问题 4：两个向量由下式给出，a = i – j + k 和 b = i – j + k。求这两个向量的叉积。

回答：

问题 5：两个向量由下式给出，a = j + 4k 和 b = 5i +4j + 3k。计算 c = axb + bx a。

回答：

问题 6：两个向量由下式给出，a = 2i + j + k 和 b = i + j + k。求这两个向量的叉积。

回答：