证明图的支配集是 NP 完全的

简介

图的支配集（Dominating Set）是指一个图中的一组节点，该组节点能够覆盖图中的所有节点，即每个节点要么是支配集中的节点，要么是与支配集中的某个节点相邻接的节点。

确定一个图是否存在支配集是一个经典的计算问题，被证明是一个 NP 完全的问题。这意味着如果我们能够快速地解决这个问题，那么我们可以使用相同的算法解决所有 NP 完全问题。

证明

我们可以将问题转化为另一个 NP 完全的问题，比如集合覆盖问题（Set Cover Problem）。

集合覆盖问题是给定一个集合 U，以及许多子集 S1，S2……Sn，求解是否存在 n 个子集的并集等于集合 U。

可以发现，图的支配集问题可以转化为集合覆盖问题。我们可以将每个节点看作集合 U 中的元素，并将一个节点的相邻节点构成的集合看作为一个子集 S。这样，我们可以通过求解集合覆盖问题来确定图是否存在支配集。

为了证明这种转化方法是可行且正确的，我们可以将图的支配集中的每个节点看作是一个需求覆盖的一部分，要么选择它，要么选择与它相邻的节点。这样一来，我们就可以使用集合覆盖问题中求解方法来求解图的支配集问题。

由于集合覆盖问题被证明是 NP 完全的，我们就可以得出结论：图的支配集问题也是 NP 完全的。

总结

图的支配集问题是 NP 完全问题之一。通过将问题转化为集合覆盖问题，我们可以证明这个问题的 NP 完全性，并使用这一证明为其他计算问题提供研究依据。