给定数组的所有旋转中 i*arr[i] 的最大总和的 PHP 程序

给定一个包含 n 个整数的数组 arr[]，找到使 i*arr[i] 的值之和最大的最大值，其中 i 从 0 变化到 n-1。

例子：

Input: arr[] = {8, 3, 1, 2}
Output: 29
Explanation: Lets look at all the rotations,
{8, 3, 1, 2} = 8*0 + 3*1 + 1*2 + 2*3 = 11
{3, 1, 2, 8} = 3*0 + 1*1 + 2*2 + 8*3 = 29
{1, 2, 8, 3} = 1*0 + 2*1 + 8*2 + 3*3 = 27
{2, 8, 3, 1} = 2*0 + 8*1 + 3*2 + 1*3 = 17

Input: arr[] = {3, 2, 1}
Output: 7
Explanation: Lets look at all the rotations,
{3, 2, 1} = 3*0 + 2*1 + 1*2 = 4
{2, 1, 3} = 2*0 + 1*1 + 3*2 = 7
{1, 3, 2} = 1*0 + 3*1 + 2*2 = 7

方法 1 ：该方法讨论了需要 O(n ² ) 时间的朴素解决方案。
该解决方案涉及在每次旋转中找到数组的所有元素的总和，然后确定最大总和值。

方法：一个简单的解决方案是尝试所有可能的旋转。计算每次旋转的 i*arr[i] 总和并返回最大总和。
算法：
1. 将数组中的所有值从 0 旋转到 n。
2. 计算每次旋转的总和。
3. 检查最大总和是否大于当前总和，然后更新最大总和。
执行：

PHP

 $arr[($i + 1) % $n])
        return $i;
    }
    return 0;
}
  
// Driver code
  
// rotated input array
$arr = array(8, 3, 1, 2); 
$n = sizeof($arr);
$max = maxSum($arr, $n); 
echo $max;
  
// This code is contributed
// by Akanksha Rai(Abby_akku)
?>

输出：

复杂性分析：
- 时间复杂度： O(n ² )
- 辅助空间： O(1)

方法2 ：该方法讨论了在O（n）时间内解决问题的有效解决方案。在朴素的解决方案中，每次旋转都会计算这些值。因此，如果这可以在恒定时间内完成，那么复杂性将会降低。

方法：基本方法是从以前的旋转计算新旋转的总和。这带来了一个相似性，其中只有第一个和最后一个元素的乘数发生剧烈变化，并且每个其他元素的乘数增加或减少 1。因此，通过这种方式，可以从当前旋转的总和计算下一个旋转的总和。
算法：
这个想法是使用先前旋转的值来计算旋转的值。当一个数组旋转 1 时，i*arr[i] 的总和会发生以下变化。
1. arr[i-1] 的乘数从 0 变为 n-1，即 arr[i-1] * (n-1) 与当前值相加。
2. 其他项的乘数减 1。即，从当前值中减去 (cum_sum – arr[i-1])，其中 cum_sum 是所有数字的总和。

next_val = curr_val - (cum_sum - arr[i-1]) + arr[i-1] * (n-1);

next_val = Value of ∑i*arr[i] after one rotation.
curr_val = Current value of ∑i*arr[i] 
cum_sum = Sum of all array elements, i.e., ∑arr[i].

Lets take example {1, 2, 3}. Current value is 1*0+2*1+3*2
= 8. Shifting it by one will make it {2, 3, 1} and next value
will be 8 - (6 - 1) + 1*2 = 5 which is same as 2*0 + 3*1 + 1*2

实施：
PHP
输出：
```
29
```
- 复杂性分析：
  - 时间复杂度： O(n)。
    因为从 0 到 n 需要一个循环来检查所有旋转，并且当前旋转的总和是从O(1)时间内的先前旋转计算的）。
  - 辅助空间： O(1)。
    由于不需要额外的空间，因此空间复杂度将为O(1)
方法 3 ：该方法讨论了在 O(n) 时间内使用枢轴的解决方案。 pivot 方法只能用于排序或旋转排序数组的情况。例如：{1, 2, 3, 4} 或 {2, 3, 4, 1}, {3, 4, 1, 2} 等。
- 方法：让我们假设一个排序数组的情况。正如我们所知，对于数组，最大和将是当数组按升序排序时。如果是已排序的旋转数组，我们可以旋转数组以使其升序。因此，在这种情况下，需要找到枢轴元素，然后才能计算最大和。
- 算法：
  1. 找到数组的枢轴：如果 arr[i] > arr[(i+1)%n] 那么它就是枢轴元素。 (i+1)%n 用于检查最后一个和第一个元素。
  2. 获得枢轴后，可以通过找到与枢轴的差值来计算总和，这将是乘数，并在计算总和时将其与当前元素相乘
- 实现：
PHP
```
 $arr[($i + 1) % $n])
        return $i;
    }
    return 0;
}
  
// Driver code
  
// rotated input array
$arr = array(8, 3, 1, 2); 
$n = sizeof($arr);
$max = maxSum($arr, $n); 
echo $max;
  
// This code is contributed
// by Akanksha Rai(Abby_akku)
?>
```
输出：
```
29
```
- 复杂性分析：
  - 时间复杂度： O(n)
    因为只需要一个循环就可以从 0 遍历到 n 来找到枢轴。要找到总和，需要另一个循环，因此复杂度仍然为O(n) 。
  - 辅助空间： O(1)。
    我们不需要额外的空间，所以辅助空间是O(1)
有关详细信息，请参阅有关给定数组的所有旋转中 i*arr[i] 的最大总和的完整文章！