给定数组的所有旋转中 i*arr[i] 的最大总和

问题描述

给定一个包含 n 个整数的数组。数组可以被旋转任意次数，旋转后的数组可以表示为 A[0], A[1], ..., A[n-1] 的形式，其中 A[i] 是原数组中第 i 个元素。

例如，数组 [0,1,2,3,4,5,6,7] 在旋转后可能变为 [3,4,5,6,7,0,1,2]。

假设数组中无重复元素，则给定数组的所有旋转中，你需要找到最大的 i * A[i]。

示例

输入: [3,1,2,4] 输出: 25

解题思路

设原数组为 a，旋转后的数组为 b，那么 a[i] 对应的是 b[(i+k)%len]，其中 k 是旋转后的偏移量。

将上式拆开，得到 i*a[i] = (i+k)b[(i+k)%len] - kb[(i+k)%len]。

上式右侧的一项 k*b[(i+k)%len] 对于所有元素均相同，我们只需要求出右侧的另一项 (i+k)*b[(i+k)%len] 的最大值即可。

观察到右侧的新数组 (i+k)*b[(i+k)%len] 必须是连续的子序列，因此可以使用动态规划的思想来优化求解。

设 dp[i] 表示以 i 结尾的最大子序列和，状态转移方程为：

dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i], nums[i])

最后，对 dp 数组求最大值即为所求。

代码示例

def maxRotateFunction(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    total = sum(nums)
    dp = [0] * n
    dp[0] = sum(i * nums[i] for i in range(n))
    res = dp[0]

    for i in range(1, n):
        dp[i] = dp[i-1] + total - n * nums[n-i]
        res = max(res, dp[i])

    return res

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组的长度，需进行一次遍历求 dp 数组。
• 空间复杂度：O(n)，需要一个 dp 数组存储中间结果。