在给定数组的所有旋转中查找 i*arr[i] 的最大和

在这个问题中，我们需要找到一个数组的所有旋转中，使 i*arr[i] 的值最大的旋转。例如，对于数组 [8, 3, 1, 2], 旋转数组的所有可能是:

[8, 3, 1, 2]
[3, 1, 2, 8]
[1, 2, 8, 3]
[2, 8, 3, 1]

在这些旋转中，第三个旋转 [1, 2, 8, 3] 使得 iarr[i] 的值最大，所以函数应该返回 29，即 38 + 23 + 81 + 1*2。

解法

我们可以通过观察来找到该问题的一般解决方案。例如，对于数组 [8, 3, 1, 2]，我们可以首先将 i*arr[i] 进行展开：

0*8 + 1*3 + 2*1 + 3*2 = 11
0*3 + 1*1 + 2*2 + 3*8 = 29
0*1 + 1*2 + 2*8 + 3*3 = 27
0*2 + 1*8 + 2*3 + 3*1 = 17

可以看出，如果我们将数组中的每个元素和它的下标分别相乘，可以得到一组“平移”的值。每次旋转都相当于将数组向左或向右平移一个位置。我们可以观察到，对于数组中的每个元素，它在 i*arr[i] 中的贡献是一定的。对于一个旋转，我们只是改变了每个元素的贡献位置。

因此，我们只需要找到数组中的每个元素在所有旋转中 i*arr[i] 的贡献值的总和，即可找到最大值。这可以通过以下代码实现：

def max_sum_rotation(arr):
    n = len(arr)
    curr_sum = sum(i * arr[i] for i in range(n))
    max_sum = curr_sum
    for i in range(1, n):
        curr_sum += sum(arr) - n*arr[n-i]
        max_sum = max(max_sum, curr_sum)
    return max_sum

复杂度分析

这个函数的时间复杂度为 O(n)，其中 n 是数组的长度。每次循环都需要计算出新的 i*arr[i] 的总和，因此需要进行 n 次运算。整个函数使用的空间也是 O(1)，因为它只需要使用几个变量。

总结

在这个问题中，我们找到了一个数组的所有旋转中 i*arr[i] 的最大和，在解决这个问题时，我们使用了展开公式和平移的思想，并且得到了一个时间复杂度为 O(n) 的解决方案。