Php 程序查找 Sum(i*arr[i]) 的最大值，仅允许在给定数组上进行旋转

介绍

在给定一个数组，对数组进行旋转操作，即将数组的最后一个元素移到第一个位置，其余元素依次向后移动一个位置。例如，原始数组为 [1,2,3,4,5] ，旋转一次后变为 [5,1,2,3,4] 。

现在，我们需要通过旋转数组来求解 Sum(i*arr[i]) 的最大值。其中，i 表示数组元素的下标，arr[i] 表示数组中下标为 i 的元素的值。

思路

找出问题中的规律是解决问题的关键。我们可以自己尝试一下，用数组 [1,2,3,4,5] 作为例子来分析。

首先，原数组 Sum(i*arr[i]) 的值为 1*1 + 2*2 + 3*3 + 4*4 + 5*5 = 55。

使用旋转操作，得到的数组和对应 Sum(i*arr[i]) 的值如下：

// 旋转 1 次
[5,1,2,3,4]
5*0+1*1+2*2+3*3+4*4=54

// 旋转 2 次
[4,5,1,2,3]
4*0+5*1+1*2+2*3+3*4=45

// 旋转 3 次
[3,4,5,1,2]
3*0+4*1+5*2+1*3+2*4=47

// 旋转 4 次
[2,3,4,5,1]
2*0+3*1+4*2+5*3+1*4=35

// 旋转 5 次
[1,2,3,4,5]
1*0+2*1+3*2+4*3+5*4=55

通过观察，我们可以发现 Sum(i*arr[i]) 的值随着旋转操作的进行而逐渐递减，最终回到原来的值。同时，我们还可以注意到，将数组旋转 1 次，相当于将 Sum(i*arr[i]) 的值减去原数组末尾元素的贡献，并加上末尾元素的下标乘以原数组长度的值。例如，在数组 [1,2,3,4,5] 中，旋转一次后得到 [5,1,2,3,4]，此时 Sum(i*arr[i]) 的值为 54。那么旋转两次后的值就是：54 - 5*5 + 0*5 = 45。这个规律对于任何一个数组都成立。

有了这个规律，我们就可以写出一段求解 Sum(i*arr[i]) 的最大值的 PHP 代码，具体实现如下。

代码实现

/**
 * @param Integer[] $nums
 * @return integer
 */
function maxRotateFunction($nums) {
    $n = count($nums);
    $sum = 0;
    $f0 = 0; // f(0)
    
    // 求出原始数组的 Sum(i*arr[i]) 的值和 f(0)
    for ($i = 0; $i < $n; $i++) {
        $sum += $nums[$i];
        $f0 += $i * $nums[$i];
    }

    $ans = $f0;
    // 逐一计算出旋转 1 到 n-1 次的 Sum(i*arr[i]) 的值，并取其最大值
    for ($i = 1; $i < $n; $i++) {
        $f1 = $f0 + $sum - $n * $nums[$n - $i];
        $ans = max($ans, $f1);
        $f0 = $f1;
    }

    return $ans;
}

对于这段代码，我们需要注意以下几点：

1. 数组中可能存在负数，因此计算 Sum(i*arr[i]) 的时候需要加上每个元素的值。
2. f(0) 表示原始数组的 Sum(i*arr[i]) 的值。因此，我们需要先求出原始数组的 Sum(i*arr[i]) 的值和 f(0) 的值。
3. 由于旋转数组相当于将数组的一部分移到数组的末尾，因此旋转 k 次相当于将数组的后 k 个元素放在数组的最前面。这些元素的上一个位置就是数组的 n-k 个元素。当我们将这些元素放到最前面的时候，它们的下标分别为 0 到 k-1。因此，对于每一次旋转操作，我们只需要用 f(0) 减去数组的最后一个元素的贡献，得到 f(1)，然后再加上数组的长度（即 n）以及旋转的次数 k 乘以最后一个元素的下标（即 n-k-1），就可以得到 f(k) 的值。最终，我们需要取 f(0) 到 f(n-1) 中的最大值作为结果。