Javascript 程序查找 Sum(i*arr[i]) 的最大值，只允许在给定数组上旋转

当我们面对这个问题时，一开始可能会尝试用两层循环来枚举所有可能的旋转情况并计算其 Sum(i*arr[i]) 的值，但很快就会发现这个思路的时间复杂度为 O(n^2)，无法承受。那么，有没有更高效的解法呢？

事实上，这个问题有一个比较巧妙的解法，可以在时间复杂度为 O(n) 的情况下解决。

我们首先可以观察到，如果把数组旋转一下，原来在位置 i 的元素 arr[i] 就会移动到位置 (i+k)mod n（其中 n 是数组长度，k是旋转的步数），那么 Sum(i*arr[i]) 的值就会变成 Sum((i+k)mod n*arr[i])，即将所有元素的下标都加上 k mod n。

我们考虑定义一个新的数组 b，其中 b[i] 表示把原数组旋转 i 次后的 Sum(i*arr[i])。那么根据上面的观察，我们可以得到 b[i] = Sum((j+i)mod n*arr[j])。现在的问题就变成了：给定原数组，如何计算数组 b 的所有元素，找到其中的最大值？

我们可以先计算出原数组所有元素的和 total，以及所有元素下标的加权和 weightedSum，即 weightedSum = Sum(i*arr[i])。然后，我们从 0 开始遍历原数组，依次加上元素的值，同时也准备好数组 b[0] 的初始值 b[0] = weightedSum。假设当前遍历到了位置 i，那么我们可以根据 b[i] = b[i-1] + total - n*arr[n-i] + arr[i-1] 来计算出 b[i+1] 的值，即把之前的 b[i] 加上前 n-1 个元素之和和后 n-1 个元素之和的差值，同时减去 arr[n-i-1]（因为这个元素在 (i+1)mod n 处），然后加上 arr[i]。然后，我们就可以遍历数组 b，找到其中的最大值。

以下是这个解法的 Javascript 代码片段：

function findMax(arr) {
    let n = arr.length;
    let total = 0, weightedSum = 0;
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        total += arr[i];
        weightedSum += i * arr[i];
    }
    let b = [weightedSum]; // b[0]
    for (let i = 0; i < n-1; i++) {
        let newB = b[i] + total - n*arr[n-i-1] + arr[i]; // b[i+1]
        b.push(newB);
    }
    return Math.max(...b);
}

这个函数接受一个数组 arr，返回所有旋转情况下 Sum(i*arr[i]) 的最大值。整个算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度也是 O(n)（因为我们需要记录数组 b）。