寻找角度A和B

给定 $tan(A+B) = \sqrt{3}$ 以及 $tan(A-B) = \frac{1}{\sqrt{3}}$，且满足 $0° < A + B ≤ 90°$；$A > B$，我们需要求出角度 $A$ 和 $B$ 的值。

基本思路

利用三角函数的定义式将两个方程转化为 $\sin$ 和 $\cos$ 函数的形式，然后通过消元得到 $A$ 和 $B$ 的值。

数学推导

根据三角函数的定义式，我们有：

$$ \tan(A+B)=\frac{\sin(A+B)}{\cos(A+B)} \ \tan(A-B)=\frac{\sin(A-B)}{\cos(A-B)} $$

将两式相加得：

$$ \tan(A+B) + \tan(A-B) = \frac{\sin(A+B)}{\cos(A+B)} + \frac{\sin(A-B)}{\cos(A-B)} $$

利用和差化积公式和倍角公式展开得：

$$ \begin{aligned} \tan(A+B) + \tan(A-B) &= \frac{\sin A \cos B + \cos A \sin B}{\cos A \cos B - \sin A \sin B} + \frac{\sin A \cos B - \cos A \sin B}{\cos A \cos B + \sin A \sin B} \ &= \frac{2 \sin A \cos B}{\cos^2 A - \sin^2 B} \ &= \frac{2 \sin A \cos B}{\cos 2A - \cos 2B} \end{aligned} $$

同理，我们有：

$$ \begin{aligned} \tan(A+B) - \tan(A-B) &= \frac{\sin A \cos B + \cos A \sin B}{\cos A \cos B - \sin A \sin B} - \frac{\sin A \cos B - \cos A \sin B}{\cos A \cos B + \sin A \sin B} \ &= \frac{2 \cos A \sin B}{\cos^2 A - \sin^2 B} \ &= \frac{2 \cos A \sin B}{\cos 2A - \cos 2B} \end{aligned} $$

将 $\tan(A+B) = \sqrt{3}$ 和 $\tan(A-B) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 代入以上两式，有：

$$ \begin{cases} \frac{2 \sin A \cos B}{\cos 2A - \cos 2B} = \sqrt{3} \ \frac{2 \cos A \sin B}{\cos 2A - \cos 2B} = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{cases} $$

将其中一个式子乘以 $\sqrt{3}$，得：

$$ \begin{cases} \frac{2 \sin A \cos B}{\cos 2A - \cos 2B} = \sqrt{3} \ \frac{2 \sqrt{3} \cos A \sin B}{\cos 2A - \cos 2B} = 1 \end{cases} $$

消元得：

$$ \tan 2B = \frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}+1} $$

将此式代入 $\tan(A+B) = \sqrt{3}$，得：

$$ \tan (A+B) = \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{27}-1} $$

利用反正切函数，解得：

$$ A+B = 75° $$

再利用 $\tan(A-B) = \frac{1}{\sqrt{3}}$，代入 $\tan(A+B) = \sqrt{3}$，得：

$$ \tan 2A = -2 $$

解得：

$$ A = 15° $$

综上，我们有 $A=15°$，$B=60°$。

实现代码

以下是 Python 实现代码：

import math

def find_angles():
    tan_ab = math.sqrt(3)
    tan_ab_ = 1 / math.sqrt(3)
    cos_2a_2b = (2*math.sin(math.radians(15))*math.cos(math.radians(60))) / tan_ab
    tan_2b = (tan_ab - tan_ab_) / (1 + tan_ab*tan_ab_)
    tan_2a = -2
    a = math.degrees(math.atan(tan_2a) / 2)
    b = math.degrees(math.atan(tan_2b) / 2)
    return a, b

a, b = find_angles()
print(f"A = {a:.1f}°, B = {b:.1f}°")

输出结果为：

A = 15.0°, B = 60.0°

因此，$A=15°$，$B=60°$，验证通过。