求 cot(90° –θ) cosec(90° –θ) sinθ tanθ tan(90° –θ) 的值

三角学源自拉丁词，“trigonon”意为三角形，“metron”意为测量，简单的意思是三角形的测量。但是测量三角形是什么意思呢？众所周知，三角形有 3 个边和 3 个角。三角学研究这 3 个边和 3 个角之间的关系。

三角学在天文学、建筑学、卫星导航系统、陆地测量等领域有着广泛的应用。三角学存在于周期运动、简谐运动、量子力学、光学和声学等各种自然现象中。三角学可以是适用于任何类型的三角形，但在本文的范围内，我们将仅限于直角三角形。让我们看看三角学的基础。

三角比

考虑如下所示的直角三角形 ABC。让我们考虑一下∠C。在理解三角比之前，必须理解与我们考虑的角度相关的 3 个术语（这里是∠C。）

垂直与所考虑的角度相对的一侧称为垂直。在我们的图中，垂直于∠C的是AB。
斜边与直角相对的一侧称为斜边。在上图中，斜边是 AC。
底与所考虑的角度相邻的一侧称为底。在上图中，对于 ∠C，BC 中的底数。

现在明白了垂直、斜边和底的含义，让我们更进一步。由于 ΔABC 有 3 条边，取任意两条边组成一个比率。对三个边应用排列，计算形成六个比率。这六个比率中的每一个都有一个特殊的名称。

∠C 的正弦 = sin C = 垂直/斜边 = AB/AC
∠C 的余割 = cosec C = 斜边/垂直 = AC/AB
∠C 的余弦 = cos C = 底/斜边 = BC/AC
∠C 的割线 = 秒 C = 斜边/底 = AC/BC
∠C 的切线 = tan C = 垂直/底边 = AB/BC
∠C 的余切 = cot C = Base/Perpendicular = BC/AB

互惠关系

正如我们在上面看到的，sin C = AB/AC 和 cosec C = AC/AB。在这里，请注意 sin 和 cosec 是相互的。因此，以下是三角比之间的倒数关系，对于所有角度 θ，

sinθ = 1/cosecθ 和 cosecθ = 1/sinθ
cosθ = 1/secθ 和 secθ = 1/cosθ
tanθ = 1/cotθ 和 cotθ = 1/tanθ

此外，还有 tanθ 和 cotθ 的公式。

tanθ = sinθ/cosθ
cotθ = cosθ/sinθ

三角恒等式

六个三角比通过三个三角恒等式相互连接，如下所示，

罪² θ + cos ² θ = 1
秒² θ – 棕褐色² θ = 1
cosec ² θ – 婴儿床² θ = 1

互补的角度和比率

让我们回过头来学习互补角。如果两个角的和为 90°，则称这两个角是互补的。考虑下面给出的 ΔQPR，与 Q 成直角。类似地，如果两个角的和为 180°，则称它们是互补的。

在应用角度和属性时，∠P + ∠Q + ∠R = 180°

∠P + 90° + ∠R = 180°

∠P + ∠R = 90°

所以∠P和∠Q之和是90°。对于任何直角三角形都是如此，因为除了直角之外的两个角总是互补的。请记住这一点，因为这将有助于进一步的讨论。现在考虑 sin P = RQ/RP 和 cos R = RQ/RP。注意 sin P = cos R。类似地，考虑 tan P = RQ/QP 和 cot R = RQ/QP。在这里，看到 tan P = cot R。

请记住，∠P 和∠R 是互补角，一个的正弦等于另一个的余弦。因此，得出结论，正弦和余弦是互补的，即它们是互补的比率。类似地，tan 和 cot 是互补的，余割和割线是互补的比率。因此，得到以下结果，如果 θ 和 (90° – θ) 是两个互补角，那么，

sin(90° – θ) = cos θ
cosec(90° – θ) = 秒 θ
tan(90° – θ) = 婴儿床 θ
cos(90° – θ) = sin θ
sec(90° – θ) = cosec θ
cot(90° – θ) = tan θ

现在让我们看一些与上面学到的公式相关的示例问题。

求 cot(90° – θ) cosec(90° – θ) sinθ tanθ tan(90° – θ) 的值

将用于解决此问题的公式

cot(90° – θ) = tan θ
cosec(90° – θ) = 秒 θ
tan(90° – θ) = 婴儿床 θ
婴儿床 θ × tan θ = 1
tan θ = sinθ/cosθ
秒 θ = 1/cosθ

解决方案：

Consider the question cot(90 – θ) cosec(90 – θ) sin θ tan θ tan(90 – θ). Using the above formulae 1, 2 and 3, convert the expression as follows: tan θ sec θ sin θ tan θ cot θ.

Now using formula 4, modifying the last two terms of first step, tan θ sec θ sin θ × 1.
Using formula 5, the expression becomes: sinθ/cosθ × sec θ × sin θ.
Applying formula 6, the expression is converted to: sinθ/cosθ × 1/cosθ × sin θ

Next step is to simplify: (sinθ × sinθ) / (cosθ × cosθ) = sin²θ / cos²θ

Now, sinθ/cosθ = tan θ (formula 5),

Therefore, sin²θ / cos²θ = tan²θ

So, final value of cot(90 – θ) cosec(90 – θ) sin θ tan θ tan(90 – θ) is tan²θ.

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类似问题

问题1：求(tan(90 ° – θ) cosecθ cos(90 ° – θ)) / (sec(90 ° – θ) sin(90 ° – θ) cosθ)的值

解决方案：

Consider the problem (tan(90° – θ) cosecθ cos(90° – θ)) / (sec(90° – θ) sin(90° – θ) cosθ)

On using the formulae,

tan( 90° – θ) = cot θ,
cos( 90° – θ) = sin θ,
sec( 90° – θ) = cosecθ, and
sin( 90° – θ) = cos θ

We get (cotθ cosecθ sinθ) / (cosecθ cosθ cosθ)

On further solving, (cotθ sinθ) / (cos²θ)

Now using the formula cotθ = cosθ/sinθ,

= (cosθ sinθ)/(sinθ cos²θ)

Finally, 1/cosθ which is equal to secθ by reciprocal relation.

So, (tan(90° – θ) cosecθ cos(90° – θ)) / (sec(90° – θ) sin(90° – θ) cosθ) = secθ

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问题 2：评估以下内容：tan(90 ° – θ) secθ – cot(90 ° – θ) cosθ / cos ² (90 ° – θ)

解决方案：

On using the formulae

tan(90° – θ) = cotθ,
cot(90° – θ) = tanθ and
cos²(90° – θ) = sin²θ,

The problem modifies to cotθ.secθ – tanθ(cosθ / sin²θ)

Using the formulae,

cotθ = cosθ/sinθ,
secθ = 1/cosθ and
tanθ = sinθ/cosθ

= (cosθ/sinθ)(1/cosθ) – (sinθ / cosθ).cosθ/(sin²θ)

On solving further, 1/sinθ – 1/sinθ = 0

So, tan(90° – θ)secθ – cot(90° – θ)cosθ/cos²(90° – θ) = 0

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