门的介绍

题目描述

这个题目来源于 GATE-CS-2014-(Set-2) 的考试题目，题号为 46。

题目内容

以下是问题的描述：

给定一个二进制数组 arr ，数组中的元素只能是 0 或 1。我们可以使用以下操作将数组中的元素进行转换：

• 如果数组中的一个元素为 0，则可以将其变为 1 。
• 如果数组中的两个相邻元素都是 1 ，则可以将它们都变为 0 。

我们可以进行多次上述操作，直到数组不再变化。请注意，最终的数组可能会因为无法再进行操作而保持不变。

您需要编写一个函数 minOperations 来计算将给定的数组 arr 转换为全部为 0 需要的最小操作次数。

函数签名

def minOperations(arr: List[int]) -> int:
    pass

输入

函数的输入参数为一个整数数组 arr ，代表初始的二进制数组。

输出

函数的返回值为一个整数，表示将数组转换为全部为 0 需要的最小操作次数。

示例

Input: arr = [1,0,0,1,0,1]
Output: 4
Explanation:
[1,0,0,1,0,1] -> [1,1,1,1,0,0] (Flipped 0s)
[1,1,1,1,0,0] -> [0,0,1,1,0,0] (Flipped 1s)
[0,0,1,1,0,0] -> [1,1,1,1,0,0] (Flipped 0s)
[1,1,1,1,0,0] -> [0,0,0,0,0,0] (Flipped 1s)

解题思路

题目要求将给定的数组全部转换为 0 ，并计算需要的最小操作次数。

一种思路是使用动态规划，定义一个长度为 n 的 dp 数组，dp[i] 表示将前 i 个元素转换为全部为 0 需要的最小操作次数。

然后我们从左到右遍历数组 arr ，对于每个位置 i ，我们有以下两个选择：

• 如果 arr[i] 为 0 ，则无需进行任何操作，所以 dp[i] = dp[i-1] 。
• 如果 arr[i] 为 1 ，我们可以选择将 arr[i] 和 arr[i-1] 都变为 0 ，所以 dp[i] = dp[i-2] + 1 （如果 i >= 2 的话）。

最后，我们返回 dp[-1] 即可。

代码实现

from typing import List

def minOperations(arr: List[int]) -> int:
    n = len(arr)
    if n == 0:
        return 0
    if n == 1:
        return 1 if arr[0] == 1 else 0
    
    dp = [0] * n
    dp[0] = 1 if arr[0] == 1 else 0
    dp[1] = min(dp[0], 1) if arr[1] == 0 else 1 + dp[0]
    
    for i in range(2, n):
        if arr[i] == 0:
            dp[i] = dp[i-1]
        else:
            dp[i] = min(dp[i-2]+1, dp[i-1])
    
    return dp[-1]

复杂度分析

• 时间复杂度：由于需要遍历数组一次，所以时间复杂度为 O(n) ，其中 n 是数组的长度。
• 空间复杂度：需要使用一个长度为 n 的 dp 数组来存储状态，所以空间复杂度为 O(n) 。