门| GATE-CS-2014-(Set-3) |第 46 题

该题涉及计算机科学的图论领域，要求实现一个函数，给出一个有向无环图（DAG）以及其源点和汇点，在图中找到所有从源点到汇点的路径。

函数签名

def all_paths(graph: Dict[int, List[int]], source: int, destination: int) -> List[List[int]]:
    pass

输入描述

• graph：一个字典，键为图中节点的整数编号，值为该节点对应的后继节点列表。例如，对于例子中给出的图，字典为 {0: [1, 2], 1: [2], 2: []}。
• source：图中源点的整数编号。
• destination：图中汇点的整数编号。

输出描述

一个列表，其中每个元素都是一个列表，表示从源点到汇点的一条路径。例如，对于例子中给出的图，应该输出 [[0, 1, 2], [0, 2]]。

样例

输入：

graph = {0: [1, 2], 1: [2], 2: []}
source = 0
destination = 2

输出：

[[0, 1, 2], [0, 2]]

思路

这是一个经典的深度优先搜索问题，可以采用递归的方式实现。假设当前在节点 cur，我们需要找到所有从 cur 出发到达汇点 destination 的路径。

搜索过程中需要维护一个列表 path，记录从源点到当前节点的路径。初始时，path 包含源点，即 path = [source]。递归搜索中，对于当前节点 cur 的每个后继节点 next_node，将 next_node 加入到路径 path 的末尾，在 next_node 上递归搜索。搜索完毕后，需要将 path 末尾的节点弹出，以便搜索其它路径。直到所有从源点到汇点的路径都被找到后，递归搜索结束。具体实现详见代码。

代码实现

from typing import List, Dict

def all_paths(graph: Dict[int, List[int]], source: int, destination: int) -> List[List[int]]:
    def dfs(cur, path):
        if cur == destination:
            # 当前节点是汇点，说明找到了一条从源点到汇点的路径
            res.append(path)
            return
        for next_node in graph[cur]:
            # 递归搜索当前节点的后继节点
            dfs(next_node, path + [next_node])

    # 初始化结果列表和搜索路径
    res = []
    path = [source]
    dfs(source, path)
    return res

复杂度分析

对于有 n 个节点、m 条边的DAG，搜索所有从源点到汇点的路径的时间复杂度为 $O(2^m)$。该算法使用了深度优先搜索，空间复杂度为 $O(m)$，其中 m 是递归调用的最大深度。