重新排列数组元素以最大化所有前缀数组的MEX之和

简介

本文将介绍一个有趣的算法问题：重新排列数组元素，使得所有前缀数组的MEX之和最大。

MEX（Minimum EXcluded value）是指集合中未出现的最小自然数。例如，集合{2,5,7}的MEX为1，集合{1,3,4}的MEX为2。

问题描述

给定一个长度为n的数组，每次可以交换数组中的两个数字。请用最少的次数执行若干交换操作，使得对于每个1≤i≤n，第1个元素到第i个元素组成的前缀数组的MEX之和最大。

解法

我们可以设计一个贪心算法来解决这个问题。

首先，我们可以将数组中的数按照从小到大的顺序进行排序。这样，对于任意的1≤i≤n，我们可以得到第i个元素组成的前缀数组的MEX为i+1，即前i个自然数均在前缀数组中出现。这是一个非常好的性质。

接下来，我们需要将排序后的数组中的元素进行一定程度的交换。具体来说，对于每个位置i（1≤i≤n），我们希望在前i个元素中，尽可能地涵盖更多的自然数。我们可以通过交换第i个元素和前i-1个元素中未出现的最小自然数来实现这一目标。

例如，假设当前正在处理位置i=4，前三个元素已经排好序并满足要求，为{1,3,4}。现在需要处理第4个元素。我们可以发现，前三个元素涵盖了自然数1、2、3，因此前缀数组的MEX为4。为了让MEX之和尽可能大，我们需要找到第4个元素后面未出现的最小自然数5，将其与第4个元素交换。可以证明这样调整之后，这个问题具有单调性，即不向后退步。

代码实现

以下是一个简单的Python实现。首先对数组进行排序，然后对排序后的数组进行遍历，对于每个位置i，寻找第i+1个未出现的自然数并将其与第i个元素交换。

def max_mex(a):
    n = len(a)
    a.sort()
    res = 0
    for i in range(n):
        if a[i] != i:
            j = i + 1
            while j < n and a[j] <= i:
                j += 1
            if j == n:
                return -1
            a[i], a[j] = a[j], a[i]
            res += i + 1
    return res

总结

本题是一个非常有趣的算法问题，可以锻炼我们的贪心思维。特别地，本题涉及到了MEX的概念，这也是一个非常有用的思维工具。