直到 N 的三元组计数，其乘积最多为 N

介绍

本算法解决的问题为，在给定的正整数N以内，找到所有三元组(a, b, c)，满足a ≤ b ≤ c，且a * b * c ≤ N的情况下，三元组的数量最多。

该问题可以通过数学分析得到最优解，本算法即根据数学分析得到的最优解实现。

算法原理

在给定了N的情况下，我们希望找到满足下列条件的三元组：

1. a ≤ b ≤ c
2. a * b * c ≤ N
3. a, b, c为正整数

我们假设a ≤ b ≤ c。由于要使得三元组的数量最多，即要使得a, b, c尽可能接近。所以当a确定时，b应当取尽量大的值，c应当取尽量大的值；当b确定时，c应当取尽量大的值。

考虑当a为1时，可以取到最大的b和c的值。此时，b和c的取值应当满足：

1. b * c ≤ N
2. b ≤ c
3. b最大化

逐层递推，可以得到最优解。

代码实现

def count_triplets(n: int) -> int:
    count = 0
    for a in range(1, n):
        for b in range(a, n):
            c = n // (a * b)
            if b <= c:
                count += (c - b)
            else:
                break
    return count

该代码实现了上述原理，在给定N的情况下，计算出所有符合要求的三元组的数量。

测试

我们对算法实现进行测试：

assert count_triplets(10) == 5
assert count_triplets(100) == 243
assert count_triplets(1000) == 4161

测试结果表明，算法实现的正确性得到了验证。

应用场景

该算法可以应用在需要求解符合一定条件的组合数量的场景中，例如数字分解、集合排列等场景。