对数赔率

Odds（成功几率）：定义为成功几率除以失败几率。比如说，有 90% 的机会赢得赌注意味着“赔率对我们有利”，因为获胜赔率是 90%，而失败赔率只有 10%。它也被定义为优势比，因为它是一个比率的形式。所以上面讨论的例子的奇数比是：

$Odds\ Ratio = \frac{odds\ of\ success}{odds\ of\ failure} = \frac{90}{10} = 9$

形式上，事件 A 的优势比定义为 A 发生的概率与 A 不发生的概率（即 A 的补充）。 （如下面的等式所示）

$Odds\ Ratio = \frac{P(A)}{1-P(A)} =\frac{P(A)}{P(A')}$

赔率，与概率不同

重要的是要注意事件发生的几率与其概率不同。假设我的篮球队赢得比赛的几率是 1 比 5。

我的球队获胜的几率 = $\frac{1}{5} = 0.2$但，
我队获胜的概率= $\frac{1}{6} = 0.16$

但是，从数学上讲，两者的最终结果都相同，因为在概率的情况下，分母被抵消了。 （如下所示）

$Odds = \frac{P(win)}{P(loss)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{6}} = \frac{1}{5}$

赔率问题

优势比的问题是由于获胜几率和失败几率之间存在不对称性。让我们试着借助一个例子来理解这一点。 72个国家参加英联邦运动会。

考虑到每个国家的获胜机会均等，印度队赢得金牌的几率是相反的，1比71或$\frac{1}{71} = 0.014$
但是假设一个理想的情况，即印度队赢得金牌的几率是有利的，71 比 1 或$\frac{71}{1} = 71$

图 1：有利与不利的领域

如图 1 所示，当赔率对我们不利时，该值总是倾向于介于 0 和 1 之间，这是一个非常小的值。但是，如果赔率对我们有利，则该值可以介于 1 和无穷大之间，这可能是一个非常大的值！为了解决这个问题，对数赔率的概念应运而生。

对数赔率：它是赔率比的对数。 （如下面的等式所示）

$Log\ Odds = \log(\frac{P(A)}{1-P(A)})$

根据上面提到的例子，

印度队赢得金牌的赔率对数，1 比 71 = $\log(\frac{1}{71}) = -1.85$

印度队赢得金牌的赔率记录是有利的，71 比 1 = $\log(\frac{71}{1}) = 1.85$

图 2：对数赔率

如图 2 所示，取比值比的对数会在结果中带来一定的对称性，使其更容易在各种统计中解释和使用。

INTERESTING NOTE: The log odds of a certain event gives a normal distribution when plotted on a histogram! This is what makes log odds so useful. 

现实生活中的例子

医学研究中使用对数赔率来预测受试者根据他/她以前的症状可能出现的症状的可能性。考虑以下示例。对 1000 名随机出现发烧和咳嗽/感冒症状的测试对象进行了医学研究。目的是找出咳嗽/感冒的人发烧或不发烧的可能性。 （以下图 3 中给出的数据。）

图 3：样本研究数据

解决方案：

一个人可能/感冒，也发烧的几率$=\frac{350}{250} = 1.4$

没有感冒/感冒的人也发烧的几率$=\frac{25}{375} = 0.066$

∴客观赔率$=\frac{1.4}{0.066} = 21$

和$\log(21) = 1.322$ , 以提供可以从研究中获得的各种结果的对称性。

这表明咳嗽/感冒的人同时发烧的可能性是没有咳嗽/感冒的人的21 倍。对数优势或优势比与 R 平方检验非常相似，因为它可以说明两个因素之间的关系。因此，可以说赔率值越高，这两个因素的相关性就越强。这是对数优势/优势比的力量。