有限集上可能的等价关系数

在离散数学中，等价关系是指集合中元素之间的一种关系，它具有自反性、对称性和传递性。在有限集合中，可能存在多种不同的等价关系。本文将介绍如何计算有限集合上可能的等价关系数。

数学公式

在介绍具体算法之前，先给出数学公式。设有一个n元素集合，它上面的一种等价关系可以表示为一个n × n的矩阵R，满足：

• R[i][i]=1 (自反性)
• R[i][j]=R[j][i] (对称性)
• R[i][j]=1 且 R[j][k]=1，则 R[i][k]=1 (传递性)

那么，R就是一个等价关系。

算法思路

对于一个n元素集合，它上面的等价关系可以看做一个含有n个节点的无向图，其中每条边表示两个元素之间具有等价关系。因此，要计算可能的等价关系数，就是要计算所有可能的n个节点构成的无向图中，有多少个图是等价关系。

具体算法思路如下：

1. 从n个节点中选择两个节点，构建一条边。

2. 对于剩下的n-2个节点，可以将它们分为若干个不相交的等价类。每个等价类可以看做一个子图。

3. 对于每个等价类，都可以选择将它看成一个节点，从而得到一个n'元素的新集合。对于新集合，可以递归地应用上述算法，得到不同的子图。这一步的递归结束条件为n'=1。

4. 对于每个子图，都可以将它看做一个等价关系。

5. 将所有得到的等价关系合并起来，可以得到所有可能的等价关系。

算法实现

下面是用Python实现的算法示例代码：

def equivalence_relations(n):
    if n == 1:
        return [set([(1, 1)])]  # 自反关系
    else:
        result = []
        for i in range(1, n):  # 构建一条边
            graph = {j: set([j]) for j in range(1, n + 1)}
            graph[i].add(n)  # i和n具有等价关系
            subgraphs = []  # 计算子图，递归调用equivalence_relations函数
            for eq_class in groupby(range(1, n + 1), lambda x: x in graph[i]):  # 对节点进行分组
                subgroup = equivalence_relations(len(eq_class))
                for s in subgroup:
                    subgraphs.append(set([(k, eq_class[k-1]) for k in s]))  # 记录子图
            for g in product(*subgraphs):  # 构建所有可能的子图组合
                g = set.union(*g)
                if all((g, s) in g for s in g if s != (i, n)):  # 检查是否满足等价关系
                    result.append(g)
        return result

使用示例

调用上述算法，可以得到n=3时所有可能的等价关系：

{(1, 1), (2, 2), (3, 3)},
{(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (3, 3)},
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)},
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}

其中，第一行表示自反关系，后面三行依次对应具有1、2、3条等价关系的情况。

总结

本文介绍了离散数学中对于有限集合的等价关系计算方法，算法思路比较巧妙，通过简单的递归实现可以得到所有可能的等价关系。对于程序员来说，本文提供了一种处理集合问题的思路，较为实用。