等价关系

如果集合A上的关系R满足以下三个属性，则称为等价关系：

• 关系R是自反的，即aRa∀a∈A。
• 关系R是对称的，即aRb⟹bRa
• 关系R是传递的，即aRb和bRc⟹aRc。

示例：设A = {1,2,3,4}，R = {(1，1)，(1，3)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3 ，3)，(4、2)，(4、4)}。

证明R是一个等价关系。

解：

自反：关系R自反为(1，1)，(2，2)，(3，3)和(4，4)∈R.

对称的：关系R是对称的，因为无论何时(a，b)∈R，(b，a)也属于R.

例如： (2，4)∈R⟹(4，2)∈R.

可传递的：关系R是可传递的，因为无论何时(a，b)和(b，c)都属于R，(a，c)也属于R。

例如： (3，1)∈R和(1，3)∈R⟹(3，3)∈R.

因此，由于R是自反的，对称的和可传递的，因此，R是等价关系。

注1：如果R1和R2是等价关系，则R1∩R2也是等价关系。

示例： A = {1,2,3}
R ₁ = {(1，1)，(2，2)，(3，3)，(1，2)，(2，1)}
R ₂ = {(1，1)，(2，2)，(3，3)，(2，3)，(3，2)}
的R _{1∩R2 =} {(1,1)，(2,2)，(3,3)}

注2：如果R1和R2是等价关系，则R1∪R2可能是也可能不是等价关系。

示例： A = {1,2,3}
R ₁ = {(1，1)，(2，2)，(3，3)，(1，2)，(2，1)}
R ₂ = {(1，1)，(2，2)，(3，3)，(2，3)，(3，2)}
的R _{1∪R2 =} {(1,1)，(2,2)，(3,3)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)}

因此，自反或对称是等价关系，但可传递可能是也可能不是等价关系。

逆关系

令R为从集合A到集合B的任何关系。R ^-1表示的R的逆是从B到A的关系，该关系由那些有序对组成，这些对在反向时属于R，即：

范例1： A = {1,2,3}
B = {x，y，z}

解： R = {(1，y)，(1，z)，(3，y)
R ^-1 = {(y，1)，(z，1)，(y，3)}
显然(R ^-1 ) ^-1 = R

注1：R-1的域和范围等于R的范围和域。

示例2： R = {(1，1)，(2，2)，(3，3)，(1，2)，(2，3)，(3，2)}
R ^-1 = {(1，1)，(2，2)，(3，3)，(2，1)，(3，2)，(2，3)}

注2：如果R是等价关系，则R-1始终是等价关系。

示例：令A = {1,2,3}
R = {(1，1)，(2，2)，(3，3)，(1，2)，(2，1)}
R ^-1 = {(1，1)，(2，2)，(3，3)，(2，1)，(1，2)}
R ^-1是等价关系。

注3：如果R是对称关系，则R-1 = R，反之亦然。

示例：令A = {1,2,3}
R = {(1，1)，(2，2)，(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)}
R ^-1 = {(1，1)，(2，2)，(2，1)，(1，2)，(3，2)，(2，3)}

注4：逆序法律(SOT)-1 = T-1或S-1(ROSOT)-1 = T-1或S-1或R-1。