证明有限群的元素是有限的

证明：
有限群的每个元素的阶都是有限的，并且小于或等于该群的阶。

证明：
假设 G 是一个有限群，组合表示为乘法。假设 a ∈ G，考虑 a 的所有正积分幂，即 a, a ² , a ³ , ……
根据闭包公理，所有这些都是 G 的元素。
由于G具有元素的有限数，因此具有所有这些整数幂不能G的不同元件

认为，

ar = as    where r > s

现在

ar = as 
=> ar . a-s = as . a-s      (multiplying both sides by a-s )
=> ar . a-s = a0            ( as-s = a0)
=> ar . a-s = e 
=> am = e,                 where m = r - s 

自从

r > s

因此，’m’ 是一个正整数。因此，存在一个正整数 m 使得 a ^m = e。

现在我们知道每组正整数都有最少的成员。
因此，使 a ^m = e 的所有正整数 m 的集合具有最少的成员，例如 n。因此，存在最小的正整数 n 使得

an = e. 

因此，a, o(a) 的阶是有限的。
现在证明o(a)≤o(G)。

认为，

o(a) = n, where n > o(G). 

由于 a ∈ G，因此根据闭包性质 a, a ² , …。 a ⁿ是 G 的元素。其中没有两个是相等的。如果可能，让 a ^r = a ^s ，1 ≤ s < r ≤ n。然后，

ar-s = e

自从

0 < r - s < n

所以，

ar-s = e implies that the order of a is less than n. 

这是一个矛盾。因此，a, a ² ,… a ⁿ是 G 的ⁿ个不同元素。由于 n > o(G)，因此这是不可能的。
因此，我们必须有 o(a) ≤ o(G)。

因此，证明有限群(G)的每个元素(a, o(a))的阶数都是有限的，且小于或等于该群的阶数(即o(a) ≤ o(g) ) )。