证明有限群的元素是有限的

证明：
有限组中每个元素的顺序都是有限的，并且小于或等于该组的顺序。

证明：
假设G是一个有限群，其组成用乘号表示。假设a∈G，考虑a的所有正整数幂，即a，a ² ，a ³ ，……
通过闭合公理，所有这些都是G的元素。
由于G具有元素的有限数，因此具有所有这些整数幂不能G的不同元件

认为，

ar = as    where r > s

现在

ar = as 
=> ar . a-s = as . a-s      (multiplying both sides by a-s )
=> ar . a-s = a0            ( as-s = a0)
=> ar . a-s = e 
=> am = e,                 where m = r - s 

自从

r > s

因此，“ m”是一个正整数。因此，存在一个正整数m，使得^m = e。

现在我们知道，每组正整数都具有最少的成员。
因此，所有那些正整数m的集合(使^m = e)具有最少的成员，即n。因此，存在最小正整数n使得

an = e. 

因此，a，o(a)的阶是有限的。
现在证明o(a)≤o(G)。

认为，

o(a) = n, where n > o(G). 

由于a∈G，因此根据闭合性质a，a ² ，…。 a ⁿ是G的元素。这些元素中没有两个相等。如果可能，令^r = a ^s ，1≤s

ar-s = e

自从

0 < r - s < n

所以，

ar-s = e implies that the order of a is less than n. 

这是一个矛盾。因此，a，a ² ，…，a ⁿ是G的ⁿ个不同元素。由于n> o(G)，因此这是不可能的。
因此，我们必须使o(a)≤o(G)。

因此，证明了有限组(G)的每个元素(a，o(a))的阶是有限的，并且小于或等于该组的阶(即o(a)≤o(g) ))。