通过用它们的乘积替换相邻对可以获得的最小阵列

简介

在算法和数据结构中，有一种叫做贪心算法（Greedy Algorithm）的策略。贪心算法是一种非常有效的解算法问题的方法。其思想是每次选择当前情况下最优的解决方案，直到达到最终的，全局最优的结果。本文介绍的问题就可以使用贪心算法来解决。这个问题的名字叫做“通过用它们的乘积替换相邻对可以获得的最小阵列”（Minimum Array Obtained By Replacing Adjacent Pair's Products）。

问题描述

假设有一个长度为 n 的整数数组 a[i]，其中的元素是正整数。现在，给定一个算法操作次数 k，对数组进行如下操作：每次在相邻的两个元素上乘上一个值，该值为它们的乘积，并把乘积放入结果数组 b 中。也就是说，结果数组 b 的第 i 个元素是 a[i] 和 a[i+1] 的乘积。请问，如何通过 k 个操作后得到满足以下条件的最小值的数组 b：

• 数组 b 的长度为 n-1。
• 数组 b 的每个元素都是正整数。
• 数组 b 的任意两个相邻的元素之间的差不超过 1 。

解决方案

思路

我们可以对数组 a 中相邻的两个元素进行乘积，直到达到数组 b 的最终状态。每次我们都选择相邻的两个元素乘积最小的那一组进行乘积计算。因为我们使用小的乘积来替换数组中原来的元素，所以在一次计算完后，数组 b 的和会减小。在进行 k 次操作后，我们会得到一个长度为 n - 1 的数组 b 。

由于数组元素的范围很大，我们可以使用压缩区间的方法—通过对数组排序并使用离散化将整数元素映射到连续的整数范围内，然后使用桶排序来加速计算。这样，对于每一对相邻的元素，我们只需在映射后的整数范围内找到最小的一对元素，并在数组 b 中记录它们的乘积即可。

代码实现

def solve(a, k):
    n = len(a)
    b = [0] * (n-1)
    for i in range(k):
        mi = 0
        for j in range(1, n):
            if a[j] * a[j-1] < a[mi] * a[min(n-1, mi+1)]:
                mi = j - 1
        b[mi] = a[mi] * a[mi+1]
        a[mi] = b[mi]
    return b

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(kn logn)，其中 n 为数组长度，k 为操作次数。我们需要进行 n 次乘积计算，并对每次计算前的数组排序（时间复杂度为 O(n logn)），这样可以在 O(logn) 的时间内找到数组中的最小值。因此，总时间复杂度为 O(kn logn)。

总结

本文介绍了一个非常实用的贪心算法问题：通过用它们的乘积替换相邻对可以获得的最小阵列。这个问题可以使用贪心算法来解决，思路非常简单：每次都选择相邻的两个元素乘积最小的那一组进行乘积计算。虽然该算法的时间复杂度较高（O(kn logn)），但是它的解法较为简单，并且可以处理大范围的数据。如果读者想要了解更多算法问题和解法，请继续关注本系列文章。