通过切换相邻位，两个阵列的最大乘积和

本文讨论一个编程问题：通过切换相邻位，如何计算两个数组的最大乘积和。

问题描述

假设我们有两个长度相等的数组 $a$ 和 $b$，它们的元素都是正整数。现在，我们可以通过交换 $a$ 和 $b$ 中任意两个相邻的元素来改变它们的顺序。我们的目标是使得最终的两个数组的对应元素的乘积和最大。换言之，我们要找到一种交换方式，使得 $\sum_{i=1}^{n} a_i \cdot b_i$ 最大。

解决方案

我们可以通过贪心策略来解决这个问题。具体来说，我们应该尽可能地把 $a$ 中的最大值和 $b$ 中的最小值匹配在一起。换言之，我们应该对 $a$ 从大到小排序，对 $b$ 从小到大排序，然后按顺序将它们的对应元素乘起来即可。这种策略的正确性可以通过数学归纳法来证明。下面是一个 Python 实现：

def max_product(a, b):
    a.sort(reverse=True)
    b.sort()
    return sum(x * y for x, y in zip(a, b))

该函数的时间复杂度是 $O(n \log n)$，因为它用到了排序算法。如果不想排序，我们也可以使用一个优先队列来辅助计算。下面是另一个 Python 实现：

import heapq

def max_product(a, b):
    pq1 = [(-x, i) for i, x in enumerate(a)]
    pq2 = [(y, i) for i, y in enumerate(b)]
    heapq.heapify(pq1)
    heapq.heapify(pq2)
    res = 0
    while pq1 and pq2:
        ax, i = heapq.heappop(pq1)
        by, j = heapq.heappop(pq2)
        res += -ax * by
    return res

该函数使用了两个优先队列 $pq1$ 和 $pq2$，分别存储 $a$ 中元素的相反数和 $b$ 中元素的正值。我们每次从 $pq1$ 中取出一个元素 $(x, i)$，从 $pq2$ 中取出一个元素 $(y, j)$，然后将 $-x \cdot y$ 添加到答案中。为什么要取 $x$ 的相反数呢？因为 Python 的优先队列是小根堆，而我们需要的是大根堆。因此，我们将 $x$ 取反后加入 $pq1$。这种方法的时间复杂度也是 $O(n \log n)$。

总结

本文介绍了一个编程问题：通过切换相邻位，如何计算两个数组的最大乘积和。我们提出了一个贪心策略，并给出了两个 Python 实现。这个问题的复杂度较低，适合在面试等场合出现。