题目介绍

本题需要编写一个函数，输入为一个正整数 $N$ 和 $N$ 个分数，输出这 $N$ 个分数的总和，并对其进行简化表示。简化的分数仅保留最简分数形式，例如 $\frac{2}{4}$ 应该简化为 $\frac{1}{2}$。

函数签名

def simplify_fraction_sum(N: int, fractions: List[Tuple[int, int]]) -> Tuple[int, int]:
    pass

输入格式

• N：正整数，表示分数的个数。
• fractions：一个长度为 $N$ 的列表，每个元素都是一个长度为 2 的元组，表示一个分数，第一个元素为分子，第二个元素为分母。分子和分母都是正整数。

输出格式

一个元组，表示 $N$ 个分数的总和的最简形式，第一个元素为分子，第二个元素为分母。输出不需要保证分子和分母均为正数，但是必须是最简形式。

示例

示例 1

assert simplify_fraction_sum(2, [(1, 2), (1, 3)]) == (5, 6)

这个例子相当于计算 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$，结果为 $\frac{5}{6}$。

示例 2

assert simplify_fraction_sum(3, [(1, 2), (1, 3), (1, 4)]) == (19, 12)

这个例子相当于计算 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$，结果为 $\frac{19}{12}$。

思路

首先计算分数的和，找到它们的公共分母，然后将所有分数的分子相加就得到了分数的和。计算公共分母的方法是将所有分母的最小公倍数（LCM）作为公共分母。

然后，对分数进行简化，即将分式的分子和分母都除以它们的最大公约数。最大公约数可以使用辗转相除法求得。

代码实现

from typing import List, Tuple


def gcd(a: int, b: int) -> int:
    while b:
        a, b = b, a % b
    return a


def lcm(a: int, b: int) -> int:
    return a * b // gcd(a, b)


def simplify_fraction_sum(N: int, fractions: List[Tuple[int, int]]) -> Tuple[int, int]:
    common_denominator = 1
    for _, denominator in fractions:
        common_denominator = lcm(common_denominator, denominator)

    numerator_sum = 0
    for numerator, denominator in fractions:
        numerator_sum += numerator * (common_denominator // denominator)

    divisor = gcd(numerator_sum, common_denominator)
    return numerator_sum // divisor, common_denominator // divisor

复杂度分析

本算法主要包含两步操作。首先需要找到所有分母的 LCM，需要遍历所有分母，时间复杂度为 $O(n)$；然后需要对所有分子进行求和，时间复杂度也为 $O(n)$。因此总时间复杂度为 $O(n)$，与输入规模线性相关。

最坏情况下，分子和分母的取值可能达到输入值的较大倍数，导致计算 LCM 和 GCD 的时间复杂度增加，但是这种情况的概率较小。本算法优化的空间主要在合理识别这种情况，避免无谓的计算。