数组中的最小反相因子

在计算机科学中，反相因子（Inversion）指的是在一个数组中，两个元素之间的顺序与他们在原始序列中的正序相反。如下图所示，对于数组 [4, 1, 3, 2]，它的反相因子有 (4, 1), (4, 3), (4, 2), (3, 2), (1, 3)，共计 5 个。

本文将介绍如何在一个数组中找到最小的反相因子。

解法一：暴力法

最简单的方法是使用两重循环枚举每一个元素对，使用 count 变量记录反相因子的数量，并在枚举完所有元素对之后返回 count 的值即可。时间复杂度为 $O(n^2)$。

下面是使用Python语言实现的暴力算法代码：

def brute_force(arr):
    count = 0
    for i in range(len(arr)):
        for j in range(i + 1, len(arr)):
            if arr[i] > arr[j]:
                count += 1
    return count

解法二：归并排序法

在归并排序算法中，当在合并两个有序数组时，我们可以计算出跨越两个子数组的反相因子数量。在归并排序的过程中，我们可以递归地计算每个子数组的反相因子数量，并将这些数量相加以得到总的反相因子数量。

下面是使用Python语言实现的归并排序算法代码：

def merge(arr, start, mid, end):
    p = start
    q = mid + 1
    tmp = []
    count = 0
    for i in range(start, end + 1):
        if p > mid:
            tmp.append(arr[q])
            q += 1
        elif q > end:
            tmp.append(arr[p])
            p += 1
        elif arr[p] <= arr[q]:
            tmp.append(arr[p])
            p += 1
        else:
            tmp.append(arr[q])
            count += (mid - p + 1)
            q += 1
    arr[start:end + 1] = tmp
    return count

def merge_sort(arr, start, end):
    if start >= end:
        return 0
    mid = (start + end) // 2
    count = merge_sort(arr, start, mid) + merge_sort(arr, mid + 1, end)
    count += merge(arr, start, mid, end)
    return count

def merge_sort_method(arr):
    return merge_sort(arr, 0, len(arr) - 1)

总结

本文介绍了两种不同的算法来计算一个数组中的反相因子数量。暴力法使用两重循环枚举每个元素对，时间复杂度为 $O(n^2)$。而归并排序法使用归并排序算法中的合并过程，时间复杂度为 $O(nlogn)$。因此，在处理大规模的数据集时，归并排序算法表现更优秀。