不相交集 (或并查集) | Set 1 (检测无向图中的循环)

简介

不相交集 (也称为并查集) 是一种数据结构，用于管理一组互不相交的集合并进行合并与查询操作。这个数据结构主要用于解决图论中的问题，如判断无向图中是否存在循环等。

在本篇介绍中，我们将学习如何使用不相交集来检测无向图中的循环。无向图中的循环指的是其中存在一条从一个节点出发返回到该节点的路径。

实现

下面是一个使用不相交集来检测无向图中循环的算法的示例实现。

class DisjointSet:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))
        
    def find(self, x):
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]
    
    def union(self, x, y):
        parent_x = self.find(x)
        parent_y = self.find(y)
        if parent_x != parent_y:
            self.parent[parent_x] = parent_y
            
def is_cycle(graph):
    n = len(graph)
    ds = DisjointSet(n)
    for u in range(n):
        for v in graph[u]:
            parent_u = ds.find(u)
            parent_v = ds.find(v)
            if parent_u == parent_v:
                return True
            ds.union(parent_u, parent_v)
    return False

使用说明

1. 创建一个不相交集对象 ds，并指定集合的大小（节点数量）。
2. 对于图中的每个节点 u，遍历其所有的邻居节点 v。
3. 对于每个邻居节点 v，获取其父节点 parent_v。
4. 如果当前节点 u 和邻居节点的父节点 parent_u 相同，说明存在循环，返回 True。
5. 否则，将当前节点 u 和邻居节点的父节点 parent_u 进行合并。
6. 如果所有节点都遍历完毕后仍未找到循环，返回 False。

示例

假设我们有以下的无向图表示：

     0
    / \
   1 - 2
  / \
 3 - 4

我们可以使用以下代码来检测是否存在循环：

graph = [[1, 2],
         [0, 3, 4],
         [0],
         [1, 4],
         [1, 3]]

if is_cycle(graph):
    print("存在循环")
else:
    print("不存在循环")

以上代码输出的结果应为 "存在循环"。

复杂度分析

• 创建不相交集对象的时间复杂度为 O(n)，其中 n 是节点的数量。
• 检测循环的时间复杂度为 O(mα(n))，其中 m 是边的数量，α 是反阿克曼函数的反函数，在实际情况下可以看作是一个非常小的常数。
• 空间复杂度为 O(n)，存储父节点的数组。

总结

不相交集是一种非常有用的数据结构，常用于解决图论中的问题。本篇介绍了如何使用不相交集来检测无向图中的循环。希望通过阅读本篇介绍，你对不相交集的概念和应用有了更深入的理解。