将二进制字符串拆分为K个子集，以最大程度减少出现0和1的乘积之和

简介

给定一个由 01 组成的二进制字符串，要求将其拆分成 K 个子集，使得每个子集中都只包含连续的 1 或 0，并且这个拆分方案能够最大程度地减少每个子集中数值为 0 或 1 的乘积之和。

示例

比如说，给定二进制字符串 101111010101 和 K=4。一种最佳的拆分方案是将其拆分成 10、11110、10 和 101 四个子集，这时每个子集的数值为 2、16、2 和 5，因此乘积之和为 2*16*2*5=320，也就是最小的乘积之和了。

实现思路

这个问题是一个典型的动态规划问题。具体来说，我们可以使用一个长度为 n 的一维数组 dp，其中 dp[i] 表示对于字符串的前 i 个字符，将其拆分为 k 个连续的子集能够得到的最小乘积和。这个数组的初始状态为 dp[0]=0，因为前 0 个字符自然不需要进行拆分。

接下来考虑如何从前 i-1 个字符的状态转移到前 i 个字符的状态。我们可以枚举最后一个子集的起始位置 j，那么当前的状态就可以分为两个部分：

• 前 j 个字符已经拆分好了，对应的乘积为 dp[j]；
• 剩余的 i-j 个字符还需要拆分成 k-1 个子集。

对于第二部分，我们可以再次使用动态规划思想，相当于要求前 i-j 个字符拆分成 k-1 个子集时的最小乘积和。具体的，我们对区间 [j, i-1] 进行遍历，对于任意一个位置 p，都可以将其作为最后一个子集的末尾，然后使用 dp[p] 表示前 p 个字符拆分成 k-2 个子集的最小乘积和，那么当前方案的乘积和就是 dp[p] 乘上区间 [p+1, i-1] 中的数值，即 value[p+1, i-1]，其中 value[p+1, i-1] 表示区间 [p+1, i-1] 中对应的二进制串所表示的十进制数值。

最后我们将所有可能的最后一个子集的乘积和取最小值，即为当前状态的最小乘积和，即 dp[i]。最终，dp[n] 就是我们要求的答案了。

代码实现

下面是使用 Python 代码实现的例子：

def split_string(s: str, k: int) -> int:
    n = len(s)

    # 计算字符串中每个子串的十进制数值
    value = [0] * n
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            value[i] = value[i] * 2 + int(s[j])

    # 初始化动态规划数组
    dp = [0] * (n + 1)

    # 动态规划转移
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i] = float('inf')
        for j in range(i):
            cnt = value[j + 1 - 1:i]
            if len(set(cnt)) > 1:
                continue
            tmp = dp[j] if j > 0 else 0
            tmp += cnt[0] ** k
            dp[i] = min(dp[i], tmp)

    return dp[n]

总结

这个问题本质上是需要将一个序列划分为若干个区间，使得每个区间内的数值都相同。对于这类问题，我们通常可以使用动态规划的思想来解决，由于局部最优解的结构具有无后效性和最优子结构，因此使用动态规划可以避免枚举所有可能的拆分方案，从而有效地降低计算复杂度。