将二进制字符串拆分为 K 个子集，以最小化 0 和 1 出现的乘积之和

问题描述

给定一个由 01 组成的二进制字符串 s 和一个正整数 k，将 s 分成 k 个非空的子集，使得每个子集中恰好包含一个 0 和一个 1，并使乘积之和最小。

解法

本问题可转化为将 s 分成 k 个非空的子集，使得每个子集中的 0 和 1 的个数相等，并使乘积之和最小。为了得到最小的乘积之和，我们需要尽量让每个子集中包含相等数量的 0 和 1。可以使用贪心算法，将 s 中的 0 和 1 分别计数，然后尽量将 0 和 1 的个数相等地分配到每个子集中，直到分配完所有的数，或者无法再分配为止。

具体地，可以按照以下步骤分配：

1. 初始化 k 个子集，每个子集中都不包含任何数。
2. 统计 s 中的 0 和 1 的个数，并记录它们的数量之差 diff = abs(count_0 - count_1)。
3. 如果 diff = 0，说明 s 中的 0 和 1 的数量相等，直接将 0 和 1 分别加入到 k 个子集中。
4. 如果 diff > 0，假设 count_0 > count_1，将尽量多的 1 加入到子集中，直到子集中的 1 的数量等于 count_0；如果 count_0 < count_1，将尽量多的 0 加入到子集中，直到子集中的 0 的数量等于 count_1。
5. 重复步骤 2、3、4，直到 s 中的所有数都已经分配完毕，或者无法再分配为止。

代码实现

def split_binary_string(s: str, k: int) -> int:
    count_0, count_1 = s.count('0'), s.count('1')
    if (count_0 + count_1) % k != 0 or count_0 < k // 2 or count_1 < k // 2:
        return -1
    avg_0, avg_1 = count_0 // k, count_1 // k
    remainder_0, remainder_1 = count_0 % k, count_1 % k
    res, idx = 0, 0
    for i in range(k):
        cur_0, cur_1 = avg_0 + (1 if i < remainder_0 else 0), avg_1 + (1 if i < remainder_1 else 0)
        j = idx
        while cur_0 > 0 or cur_1 > 0:
            if s[j] == '0' and cur_0 > 0:
                cur_0 -= 1
            elif s[j] == '1' and cur_1 > 0:
                cur_1 -= 1
            j += 1
        idx = j
        res += (avg_0 + remainder_0) * (avg_1 + remainder_1)
        remainder_0, remainder_1 = max(0, remainder_0 - 1), max(0, remainder_1 - 1)
    return res

复杂度分析

本算法只遍历了一次字符串 s，时间复杂度为 O(n)，其中 n 是字符串 s 的长度。空间复杂度为 O(1)。