门 | GATE-CS-2002 | 问题 7

本题是GATE-CS-2002的问题7，主要考察计算机科学专业的数据结构和算法知识。

问题描述

有 $n$ 个开关控制着 $n$ 个灯，开关编号为 $1, 2, ..., n$，灯编号为 $1, 2, ..., n$。每个开关都能控制一些灯，开启一个开关将其控制的灯打开或关闭。不同的开关可能控制相同的灯。初始时灯是关闭的。现在给定每个开关控制的灯的列表，试找出一种方案，能使得最终所有的灯都为开启状态。

示例

输入：

n = 4
switches = [[2], [2,3], [1,4], [3,4]]

输出：

[1, 2, 3]

解题思路

首先需要建立一个 $n$ 行 $n$ 列的矩阵 $M$，其中 $M_{i,j} = 1$ 表示第 $i$ 个开关可以控制第 $j$ 个灯，否则 $M_{i,j} = 0$。接着定义一个长度为 $n$ 的数组 $L$，其中 $L_i = 1$ 表示第 $i$ 个灯是打开的，否则 $L_i = 0$。

接下来的思路是对于每个开关，判断它是否能控制当前所有的灯，如果是，则将它打开。

具体步骤如下：

1. 将 $M$ 和 $L$ 初始化为 $0$ 和 $1$。

2. 对于每个开关 $s_i$，检查它是否能控制当前所有的灯，即检查 $M_{i,j} = 1$ 是否对 $1 \le j \le n$ 都成立。如果是，则将当前开关打开，即 $L_i = 1$。

3. 如果在第 $2$ 步中成功打开了一个开关，则继续从第 $1$ 步开始从头检查所有开关，直到所有的灯都被打开。

4. 如果在第 $2$ 步中没有成功打开任何开关，则无解。

代码实现

def switches_to_turn_on(n, switches):
    M = [[0] * n for _ in range(n)]
    L = [1] * n

    for i, switch in enumerate(switches, start=1):
        for j in switch:
            M[i-1][j-1] = 1

    while any(L[i] == 0 for i in range(n)):
        found = False
        for i, switch in enumerate(switches, start=1):
            if all(M[i-1][j-1] == 0 or L[j-1] == 1 for j in switch):
                L[i-1] = 1
                found = True
        if not found:
            return None

    return [i for i, x in enumerate(L, start=1) if x == 1]

时间复杂度

时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是开关和灯的数量。主要的时间消耗在矩阵的初始化和循环判断上。