门| GATE MOCK 2017 |问题6

1. 简介

本题为 GATE MOCK 2017 的问题 6，题目名称为“门”（GATE MOCK 2017 - SET 3 - Q6 - DOOR）。该题目主要考察编程能力和算法思维，难度较大。

2. 题目描述

题目要求编写程序，输入一个由 0、1 组成的矩阵，每个元素代表一个房间门的状态，0 表示关闭，1 表示打开。现在要求通过对矩阵中的门进行操作，使得矩阵变为全 0 的状态，且每个操作仅可作用在两个门之间的连通路径上。每次操作可将路径上的所有门状态进行取反（0 变为 1，1 变为 0），问最少需要进行多少次操作。

3. 思路

本题需采用图论思路进行解题。首先将矩阵中的所有 1 进行连通分量的划分，然后考虑连通分量之间的联系。可以发现，如果两个连通分量之间有至少一个门是打开的，那么这两个连通分量就是相连的。而如果两个连通分量之间的所有门都是关闭的，那么它们就是不连通的。通过图论算法，可以计算出每个连通分量之间的连通性，从而得到最少需要进行多少次操作。

4. 代码实现

以下是Python语言的实现代码，其中n为表示矩阵的行列数，mat为表示矩阵的二维数组，vis为标记二维数组，adj为表示连通性的邻接矩阵：

def DFS(i,j):
    vis[i][j]=True
    for k in range(4):
        ni,nj=i+mx[k],j+my[k]
        if ni>=0 and ni<n and nj>=0 and nj<n and mat[ni][nj]==1 and not vis[ni][nj]:
            adj[idx[i][j]][idx[ni][nj]]=adj[idx[ni][nj]][idx[i][j]]=1
            DFS(ni,nj)

n=int(input())
mat=[list(map(int,input().split())) for i in range(n)]
vis=[[False]*n for i in range(n)]
mx,my=[0,0,-1,1],[-1,1,0,0]
idx=[[0]*n for i in range(n)]
tot=0
for i in range(n):
    for j in range(n):
        if mat[i][j]==1 and not vis[i][j]:
            tot+=1
            DFS(i,j)
ans=0x3f3f3f3f
for i in range(1,tot+1):
    for j in range(i+1,tot+1):
        if adj[i][j]:
            ans=min(ans,tot-(len(nx.minimum_vertex_cover(nx.Graph(dct[i]+dct[j])))))
print(ans)

5. 总结

本题难度较大，需要具备较强的图论算法思维，推荐大家在熟悉基本的图论算法后再尝试解决此类问题。