门 | GATE MOCK 2017 |问题7

这是一道关于图论的问题，需要用到最小生成树算法。题目要求我们在一个由边权值表示距离的无向图中，从一个源点到所有其他点的最短距离的平均值。

问题描述

假设有一个由$n$个节点和$m$条边构成的无向图，边权值表示节点之间的距离。给定源点$s$，求从源点到其他所有点的最短距离的平均值。注意，图中可能存在不连通的部分。

解法

这道问题是一道典型的最短路问题。我们可以使用最短路算法来解决。Dijkstra算法和Bellman-Ford算法都可以求解单源最短路径问题，但是这里我们考虑使用更加高效的Floyd-Warshall算法。

Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于解决所有点对之间的最短路径问题。本题要求的是单源最短路径，因此我们可以对所有点进行Floyd-Warshall算法的过程，即可解决本题。

步骤如下：

1. 初始化一个$n\times n$的矩阵$D$，$D[i][j]$表示从节点$i$到节点$j$的最短距离。若$i$和$j$之间没有边，则$D[i][j]$赋值为一个极大值。

2. 使用Floyd-Warshall算法计算$D$矩阵：

for (int k = 1; k <= n; ++k) {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            D[i][j] = min(D[i][j], D[i][k] + D[k][j]);
        }
    }
}

3. 在$D$矩阵中，第$i$行的所有数表示从节点$s$到节点$i$的最短距离。我们可以遍历这一行的所有数，将它们相加，然后除以$n-1$，即可得到s到其他所有点的最短距离的平均值。注意，若第$i$行的任意一项为极大值，则说明节点$s$无法到达节点$i$，因此在计算平均值的时候需要将这些无法到达的节点排除掉。

复杂度分析

时间复杂度为$O(n^3)$，空间复杂度为$O(n^2)$。

总结

本题是一道关于图论和最短路径的问题，需要使用最小生成树和Floyd-Warshall算法来解决。在实际工程中，这些算法都有广泛的应用，因此对于程序员而言了解它们的原理和实现方法是非常有用的。